3. Hodisalar ustida amallar.
Tasodifiy hodisalar orasidagi munosabatlarni keltiramiz:
va
hodisalar yig‘indisi
deb,
va
hodisalarning kamida bittasi(ya‘ni
,
yoki
, yoki
va
birgalikda) ro‗y berishidan iborat
(
)
hodisaga aytiladi.
va
hodisalar ko‘paytmasi
deb,
va
hodisalar ikkalasi ham (ya‘ni
va birgalikda) ro‗y berishidan iborat
(
)hodisaga aytiladi.
A
B
C
A
B
A
B
A
B
A
B
B
A
С
B
A
C
A
B
A
B
A
B
B
A
C
B
A
C
hodisadan
hodisaning ayirmasi
deb,
hodisa ro‗y berib, hodisa ro‗y
bermasligidan iborat
(
) hodisaga aytiladi.
hodisaga
qarama-qarshi
hodisa faqat va faqat
hodisa ro‗y bermaganda
ro‗y beradi(ya‘ni hodisa A hodisa ro‗y bermaganda ro‗y beradi). ni uchun
teskari hodisa deb ham ataladi.
Agar
hodisa ro‗y berishidan
hodisaning ham ro‗y berishi kelib chiqsa
hodisa hodisani
ergashtiradi
deyiladi va
ko‗rinishida yoziladi.
Agar
va
bo‗lsa, u holda
va
hodisalar
teng
(
teng kuchli
)
hodisalar deyiladi va
ko‗rinishida yoziladi.
1.5-misol.
va -ixtiyoriy hodisalar bo‗lsin. Bu hodisalar orqali quyidagi
hodisalarni ifodalang:
D
={uchchala hodisa ro‗y berdi};
E
={bu hodisalarning
kamida bittasi ro‗y berdi};
F
={bu hodisalarning birortasi ham ro‗y bermadi};
G
={bu hodisalarning faqat bittasi ro‗y berdi}.
Hodisalar ustidagi amallardan foydalanamiz:
;
;
;
.
A
B
A
B
B
A
C
\
B
-
A
C
A
A
A
A
A
A
A
B
A
B
B
A
B
A
A
B
A
B
B
A
B
A
,
C
)
(
C
B
A
D
C
B
A
D
C
B
A
E
C
B
A
F
C
B
A
C
B
A
C
B
A
G
Demak hodisalarni to‗plamlar kabi ham talqin etish mumkin ekan.
Belgilash
To‗plamlar nazariyasidagi
talqini
Ehtimollar nazariyasidagi talqini
Fazo (asosiy to‗plam)
Elementar hodisalar fazosi, muqarrar
hodisa
fazo elementlari
elementar hodisa
A
to‗plam
A
hodisa
,
va to‗plamlarning
yig‗indisi, birlashmasi
va hodisalar yig‗indisi (
va
ning kamida biri ro‗y berishidan
iborat hodisa)
,
va to‗plamlarning
kesishmasi
va hodisalar ko‗paytmasi (
va ning birgalikda ro‗y berishidan
iborat hodisa)
,
to‗plamdan to‗plamning
ayirmasi
hodisadan hodisaning ayirmasi(
ning ro‗y berishi, ning ro‗y
bermasligidan iborat hodisa)
Bo‗sh to‗plam
Mumkin bo‗lmagan hodisa
to‗plamga to‗ldiruvchi
hodisaga teskari hodisa(
ning
ro‗y bermasligidan iborat)
,
va to‗plamlar
kesishmaydi
va hodisalar birgalikda emas
to‗plam ning qismi
hodisa ni ergashtiradi
va to‗plamlar ustma-ust
tushadi
va hodisalar teng kuchli
Hodisalar va ular ustidagi amallarni Eyler-Venn diarammalari yordamida
tushuntirish(tasavvur qilish) qulay. Hodisalar ustidagi amallarni 1-5 rasmlardagi
shakllar kabi tasvirlash mumkin.
,
A
A
,
B
A
B
A
A
B
A
B
A
B
B
A
B
A
A
B
A
B
A
B
B
A
\
B
A
A
B
A
B
A
B
A
A
A
A
B
A
B
A
A
B
A
B
B
A
A
B
A
B
B
A
A
B
A
B
A-B
1-rasm. 2-rasm.
B
A
A
Ω
B
B
A
A
B
3-rasm. 4-rasm.
5-rasm.
Hodisalar ustidagi amallar quyidagi xossalarga ega:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
,
;
8)
;
9)
va
- de Morgan ikkilamchilik prinsipi.
1. 6-misol.
a)
ifodani soddalashtiring.
Yuqoridagi xossalardan foydalanamiz:
Demak,
ekan.
A
B
A
A
B
B
A
A
B
B
A
,
,
)
(
C
B
C
A
C
B
A
)
(
)
(
),
(
)
(
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
A
A
A
A
A
A
,
A
A
A
A
A
,
,
A
A
A
A
A
,
,
A
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
)
(
)
(
B
A
B
A
A
A
A
A
A
B
B
A
A
B
B
A
B
B
A
A
A
B
A
B
A
)
(
)
(
)
(
A
B
A
B
A
)
(
)
(
B
Ā
A
B
A
B
A
B
Ā
b)
formulani isbotlang.
.
1.7-Misol.
Tajriba birlik kvadratga tavakkaliga zarracha tashlashdan iborat
bo‗lsin. tashlangan zarrachani doiraga tushishi,
B
esa – tashlangan zarrachaning
kichik kvadratga tushishi hodisalari bo‗lsa, u holda
,
AB
,
\
A B
va
A
hodisalar zarrachaning mos ravishda
va
B
figuralarning birlashmasi,
kesishmasi, ayirmasi va birlik kvadratgacha to‗ldirmasi orqali hosil qilingan (1-
shaklda tegishli sohalar shtriхlangan) sohalarga tushishidan iborat.
1-shakl
4. Tasodifiy hodisalar. Hodisalar algebrasi
Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalarini keltiramiz.
Natijasi tasodifiy bo‗lgan biror tajriba o‗tkazilayotgan bo‗lsin.
-tajriba
natijasida ro‗y berishi mumkin bo‗lgan barcha elementar hodisalar to‗plami
elementar hodisalar fazosi deyiladi; tajribaning natijasi
esa elementar hodisa
deyiladi.
Agar
chekli yoki sanoqli to‗plam bo‗lsa (ya`ni elementlarini natural sonlar
yordamida nomerlash mumkin bo‗lsa), u holda uning ixtiyoriy qism to‗plami
tasodifiy hodisa (yoki hodisa) deyiladi:
.
to‗plamdagi
qism to‗plamga tegishli elementar hodisalar
hodisaga
qulaylik yaratuvchi hodisalar deyiladi.
to‗plam muqarrar hodisa deyiladi.
-
bo‗sh to‗plam mumkin bo‗lmagan
hodisa deyiladi.
S
-
ning qism to‗plamlaridan tashkil topgan sistema bo‗lsin.
Agar
1.
,
;
2.
munosabatdan
kelib chiqsa;
B
A
A
B
A
B
A
A
A
A
A
B
A
B
A
B
A
B
A
)
(
)
(
)
(
B
A
A
B
A
A
B
A
A
B
B
A
B
A
A
)
(
A
B
A
A
A
A
A
A
S
S
A
S
A
S
3.
va
munosabatdan
,
kelib chiqsa sistema algebra
tashkil etadi deyiladi.
Ta‘kidlash joizki,
,
ekanligidan 3 shartdagi
va
munosabatlardan ixtiyoriy bittasini talab qilish yetarlidir.
1.4-misol.
,
sistema algebra tashkil etadi:
,
,
,
.
Agar 3 shart o‗rniga quyidagilarni talab qilsak
munosabatdan
,
kelib chiqsa sistema
-algebra deyiladi.
Agar
chekli yoki sanoqli bo‗lsa,
-to‗plamning barcha qism to‗plamlaridan
tashkil topgan hodisalar sistemasi algebra tashkil etadi.
5. Kombinatorika elementlari
O‘rin almashtirishlar
n
ta elementli o‗rin almashtirishlar deb bir-biridan faqat elementlarining
tartibi bilan farq qiladigan
n
ta elementli birikmalarga aytiladi. Masalan, uchta
, ,
A B C
elementdan oltita o‗rin almashtirish bajarish mumkin:
ABC
,
ACB
,
BAC
,
CBA
,
BCA
,
CAB
.
n
ta elementli o‗rin almashtirishlar soni
n
P
harfi bilan belgilanadi va
quyidagi formula bilan hisoblanadi:
1 2 ...
!
n
P
n
n
1-misol.
1 , 2 , 3 raqamlardan ularning har biri tarkibida faqat bir marta
uchraydigan nechta uch xonali son tuzish mumkin?
Yechish.
Bunday uch xonali sonlarning soni
3
3! 1 2 3 6
P
ta.
Javob: 6.
O‘rinlashtirishlar
n
ta elementdan
m
tadan o‗rinlashtirishlar deb, har birida berilgan
n
ta
elementdan
m
tasi olingan shunday birikmalarga aytiladiki, ularning har biri hech
bo‗lmaganda bitta elementi bilan yoki faqat ularning joylashish tartibi bilan farq
qiladi.
Masalan, uchta element
, ,
A B C
lardan ikkita elementli oltita o‗rinlashtirish
S
A
S
B
S
B
A
S
B
A
S
B
A
B
A
B
A
B
A
S
B
A
S
B
A
S
,
S
A
n
,...,
2
,
1
n
1
n
n
S
A
1
n
n
S
A
S
mavjud:
,
,
,
,
,
AB AC BC BA CA CB
.
n
ta elementdan
m
tadan turli o‗rinlashtirishlar soni
m
n
A
bilan belgilanadi
va quyidagi formula bilan hisoblanadi:
!
(
1)(
2)...(
1), (0
).
(
)!
m
n
n
A
n n
n
n
m
m
n
n
m
1
0
1
n
n
A
n va A
.
2-misol.
Telefonda nomer terayotgan abonent ohirgi uch raqamni esidan
chiqarib qo‗ydi va faqat bu raqamlar har hil ekanligini eslab qoldi. Bu holda
abonent terishi mumkin bo‗lgan necha xil kombinasiya mavjud?
| 