| 3-Misol.
darajali qatorni yaqinlashishini tekshiring.
Yechish:
bo’lganligi uchun,
Demak, yoki intervalda qator yaqinlashuvchi. Intervalning chetki nuqtalarida qator yaqinlashishini tekshiramiz. x = 3 bo’lsin, bu holda
sonli qator hosil bo’lib, integral belgidan foydalansak, uning yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi(bajarib ko’ring). x = 1 bo’lsa,
sonli qator hosil bo’lib, u absolyut yaqinlashuvchidir(tekshirib ko’ring).
Shunday qilib, berilgan qatorning yaqinlashish intervali bo’ladi.
TEYLOR VA MAKLOREN QATORI
y = f (x) funksiya x = a nuqtada (n +1) tartibgacha hosilalarga ega bo’lsa, u holda qo’yidagi Teylor formulasi o’rinlidir:
bu yerda,
bo’lib,
Lagranj shaklidagi qoldiq had deyiladi. a = 0 da Teylor formulasining xususiy holi, Makloren formulasi hosil bo’ladi:
funksiya а nuqta atrofida istalgan marta differensiallanuvchi bo’lsa va bu nuqtaning biror atrofida
bo’lsa, Teylor va Makloren formulalaridan
qatorlar hosil bo’ladi. Bularning birinchisi Teylor qatori, ikkinchisiga Makloren qatori deyiladi.
Bu qatorlar х ning bo’ladigan qiymatlarida f(x) funksiyaga yaqinlashadi.
A nuqtani o’z ichiga oluvchi biror intervalda istalgan n uchun , ( M biror musbat son) tengsizlik bajarilsa, bo’ladi va f(x) funksiya Teylor qatoriga yoyiladi.
Funksiyalarni darajali qatorlarga yoyish.
Ayrim funksiyalarni darajali qatorga yoyamiz.
, istalgan x lar uchun.
bo’ladi. Bularni Makloren qatoriga qo’yib,
ni hosil qilamiz. Oxirgi tenglikdan x = 1 desak,
bo’lib, е soni qator yig’indisi ko’rinishida ifodalanadi. Bundan foydalanib е sonining taqribiy qiymatini istalgan darajadagi aniqlikkacha hisoblash mumkin.
Istalgan x uchun,
bo’ladi. Bundan
bo’lib,bularni Makloren qatoriga qo’ysak,
hosil bo’ladi. Bu qator istalgan x uchun yaqinlashuvchi .
Oxirgi qatorni hadlab differensiallasak,
qator hosil bo’ladi, bu f (x) = cosx funksiya uchun Makloren qatori
bo’ladi.
Xuddi yuqoridagidek usul bilan funksiya uchun qatorni hosil qilamiz. Bu qatorga binomial qator deyiladi. U intervalda absolyut yaqinlashuvchi bo’ladi.
f(x)=ln(1+x) funksiya uchun yuqoridagi usul bilan
yoyilmani hosil qilish mumkin.
funksiyani x ning darajalari bo’yicha qatorga yoying.
Yechish. Yuqoridagi cosx uchun keltirilgan qatorda x ni bilan almashtirsak,
bo’ladi. Bu qator istalgan x uchun yaqinlashuvchidir, biroq funksiya da aniqlanmaganligini hisobga olib, hosil qilingan qator funksiyaga da yaqinlashadi.
| 