A(ja) = an (jo))” + anl +... + a0 =U(a>)+jV() = aa -a2m2 +a44 ... m..juft\
V(a>) = alo-a3a>1+a5as ... va U(-a) = U(a>); У(-с) = -У(со); A(-ja) = U(co)-j.V{a>), ya’ni, A(ja>) va A(-j«>) - qo‘shma kompleks kattaliklar va
A arg A(ja>) = A arg A(ja) (5.11)
0 <0 V * '
82
(5.11) ifodani hisobga olgan holda, argument o'zgarishi uchun ifoda quyidagicha bo'ladi:
Д arg A{jm)= n^—. (5.12)
o
5 J-rasm. Barqaror sistemalar 5.4-rasm. Nobarqaror sistemalar
godograflari godograflari
Shunday qilib, Mixaylov kriteriysiga ko‘ra, avtomatik boshqarish sistemasi - ABS (avtomatik rostlash sistemasi - ARS) barqaror bo‘lishi uchun, (О 0 dan +°o gacha o'zgarganda A(j
7Г
yo'nalishda n~ burchakka burilishi kerak (bu yerda, n - A(p)=0
xarakteristik tenglama darajasi) yoki A(jco) godograf со 0 dan +oo gacha oshganda haqiqiy sonlar o‘qidan boshlanib, musbat (soat strelkasiga qarama - qarshi) yo‘nalishda ketma-ket n ta kvadratdan o‘tishi lozim.
5.3-rasmda barqaror sistemalar godograflari va 5.4-rasmda nobarqaror sistemalar godograflari ko'rsatilgan. Agar A(jco) godografi koordinatalar boshidan o‘tsa (rasmda punktir bilan ko‘rsatilgan), sistema barqarorlik chegarasida bo‘ladi. Bu holda A(jco) = 0 va bu Mixaylov kriteriysi bo‘yicha barqarorlik sohalarini tadqiq qilishning asosiy sharti hisoblanadi.
83
Nazorat savollari:
Ildizlar mavhum sonlar o‘qidan chap tomonda bo‘lishi nimaga olib keladi ?
Ildizlar mavhum sonlar o‘qidan o;ng tomonda bo'lishi nimaga olib keladi ? .
Argument prinsipi qanday ta’riflanadi?
Mixaylov kriteriysining ta’rifi.
Sistema barqarorlik chegarasida bo‘lganda Mixaylov godografming ko‘rinishi qanday bo‘ladi?
Naykvist barqarorlik kriteriysi
Naykvist kriteriyasiga ko‘ra yopiq sistema barqarorligini o‘rganish uchun ochiq sistemaning amplituda - faza xarakteristikasini bilish kerak boMadi. Bu xarakteristikani analitik usul bilan yoki eksperiment yordamida olish mumkin. Bu hoi Naykvist kriteriysini boshqa kriteri- ylardan farqlab turadi [1-7]. Agar ochiq sistemaning uzatish funksiyasi quyidagi shaklda berilsa:
<5ЛЗ)
u holda,
(5.14)
Bu funksiyaning surati yopiq sistemaning xarakteristik polinomidan, maxraji esa ochiq sistemaning xarakteristik polinomidan iborat. Agar D(p) ning darajasi n ga teng va K(p) ning darajasi esa m < n bo‘lsa, u holda D(p) + K(p) ifodaning darajasi ham n ga teng bo‘ladi. Shunday qilib, suratdagi polinom F(p) darajasi maxraj polinomi darajasi bilan teng bo‘ladi.
Naykvist kriteriysi ochiq sistema barqaror, nobarqaror va barqarorlik chegarasida bo‘lgan holatlar uchun ko‘rib chiqiladi:
Aarg£>(» = «^ (5.15)
0<л,
84
holat — sistema ochiq holda barqaror.
Sistema yopiq holda barqaror bo‘lishi uchun quyidagi shart bajari- lishi kerak:
A arg [D{jo)) + K(jco)] = (5.16)
OC9<0D 2.
A arg F(Ja) = A arg [D(Jeo) + K(jco)]- A arg D{ja) = 0 (5.17)
0<®
Bu holda:
5.5-rasm.
Shunday qilib, ABS barqaror bo‘lishi uchun ш qiymati 0 dan +oo gacha o‘zgarganda, argument vektori F(jo)) ning o'zgarishi 0 ga teng bo‘lishi kerak. F(jco) qiymat jihatidan Wp(jco) dan +1 ga farq qilgani uchun barqarorlik shartini bevosita Wp(j(n) uchun olishimiz mumkin (5.5- rasm).
Shunday qilib, Naykvist kriteriysining bu hoi uchun ta’rifi quyidagicha bo‘ladi: Yopiq sistema barqaror boMishi uchun 0) qiymati 0 dan +oo gacha o‘zgarganda, ochiq sistemaning godografi (-1 JO) nuqtani o‘z ichiga olmasligi kerak. Agar godograf (-1, jO) nuqta orqali o‘tsa, sistema barqarorlik chegarasida bo‘ladi. Bu xarakteristika 5.5 - rasmda punktir chiziq yordamida ko'rsatilgan.
holat - sistema ochiq holda barqaror emas.
Agar ochiq sistemaning xarakteristik tenglamasi o‘ng yarim tekislikda ildizlarga ega bo‘lsa, u holda:
85
Sistema yopiq holda barqaror bo'lishi uchun, quyidagi shart bajari- lishi kerak:
Д arg F(ja>) = & arg [D(ja>)+K(jeo)]-A arg D(Jo}) = n~-(n-2m)-^- = ^-2-x (5.19)
0<«<« 02, Л, л,
Д arg [D{jco)+K(j= n-^- (5.20)
02,
Shunday qilib, ABS barqaror bo‘lishi uchun, go qiymati 0 dan +oo gacha o‘zgarganda ochiq sistema godografi Wr(jco) musbat yo'nalishda (-1, jO) nuqtasini m/2 marta o‘z ichiga olishi kerak, bu yerda, m - o‘ng yarim tekislikda yotuvchi xarakteristik tenglama ildizlarining soni.
5.6-rasm.
5.6 - rasmda godograflar ko'rsatilgan bo‘lib, o‘ng tomondagi grafik barqaror sistemaga mos keladi.
3 -holat - sistema ochiq holatda neytral, ya’ni
bu yerda, v- ochiq sistema xarakteristik tenglamasi nol ildizlarining soni;
Di(p) o‘ng yarim tekislikda va mavhum sonlar o'qida yotuvchi ildizlarga ega emas. Bu holda Naykvist kriteriysini oldin olingan
86
ta’riflaridan foydalanib bo‘lmaydi, chunki Naykvist kriteriysi asosini tashkil etuvchi argument kriteriysi xarakteristik tenglama ildizlari mavhum sonlar o'qida joylashgan holatlami ko‘rib chiqmaydi.
bo‘lganda, Wp(J(o)-* Va shuning uchun W^(ja) godograf (-1, jO) nuqtani o‘z ichiga olish yoki olmasligi to‘g‘risida fikr yuritib bo‘lmaydi.
Nol ildizlami (rj = ±P) sun’iy ravishda surish va so'ngra (rj = -|3) o‘tish orqali bu holatni sistema barqaror yoki nobarqaror holatga olib kelish mumkin va bu holatlar Naykvist kriteriysi ta’riflarini qo‘llash imkonini beradi.
Berilgan sistemani ochiq holatda barqaror (ri = -0) sistema ko'rinishiga olib kelamiz va oddiylik uchun v =1 deb qabul qilamiz:
(5.22)
Bu yerda integrallovchi zveno vaqt doimiysi 1/p ga teng bo‘lgan inertsion zvenoga aylandi. Endi ochiq sistemaning kompleks kuchaytirish koeffitsiyenti quyidagicha bo'ladi:
Wpfl®)
7 /to-D *+ /
К
P
/
Wpo®)
+
j
5.7-rasm.
8
7Wp(jco) va Wpl(jco) chastota godograflari yuqori chastotalarda bir- biriga yaqin va quyi chastotalarda bir- -biridan farq qiladi:
Wp(j©) godograf to -» 0 da mavhum sonlar o‘qining manfiy qismiga qarab pastga yo‘naladi, WRi(jco) godograf со -> 0 da 4 - kvadrant orqali haqiqiy sonlar o‘qi musbat qismidagi (к/p, jO) nuqtaga keladi, bu erda, k= K(jO)/D(jO) - berilgan ochiq sistemaning kuchaytirish koeffitsiyenti.
p—»0 bo‘lganda ikkala godograf ham co~0 dan tashqari barcha chastotalarda ustma ust tushadi: Wpi(jco) godograf Wp(jco) dan radiusi (P-+0 da К—>co) cheksizga teng bo'lgan, 4 - kvadrantdan o'tuvchi va godografhi -> 0 boMganda haqiqiy sonlar yarim o‘qiga olib keluvchi yoyning borligi bilan farq qiladi. Godografning bu qismi v ning qiymatlariga bogiiq ravishda cheksiz Till, л, Зя/2 burchaklariga to‘ldiruvchi deb ataladi.
Endi cheksiz to‘ldirilgan chastota kriteriylari uchun Naykvist kriteriysining 1 - holati ta’rifidan foydalanish mumkin.
Shunday qilib, ochiq holatda neytral bo‘lgan sistema yopiq holda barqaror bo'lishi uchun ochiq sistema godografi cheksiz to'ldirilganda (—1, jO) nuqtani o‘z ichiga olmasligi kerak.
| 