Vizual materiallar
1-ilova
Mavzu: Kristall pajarasini tebranishlari
Reja:
1. Bir o‘lchamli kristall tebranishini mexanikasi.
2. Qattiq jismning issiqlik sig‘imini Eynshteyn bo‘yicha nazariyasi.
3. Qattiq jismning issiqlik sig‘imini Debay bo‘yicha nazariyasi.
Darsning maqsadi: Talabalarda izotrop kattiq jismlarning issiqlik sig‘imi haqida bilim berish. Molekulyar fizika kursida o‘tilgan “Qattiq jismlarning issiqlik sig‘imi” mavzusini
chuqurlashtirish va shu bilan birga talabalarni bilimini kengaytirish.
O‘quv faoliyatining natijalari:
- Eynshteyn va Debay nazariyalari orasidagi asosiy farq nima ekanligini tushunib olish.
- akustik va optik tebranishlarni mohiyatini tushunish.
2-ilova
1. Moddaning issiqlik sig‘imi deganda nimani tushunasiz?
2. Dyulong-Pti qonunini ta’riflab bering?
3. Mayer eslab ko‘ring va formulasini yozib bering.
4. Ideal gazning molyar issiqlik sig‘imi formulasi esizdami? YOzib bering.
5. Molekulaning erkinlik darajasi deganda nimani tushunamiz?
3-ilova (asosiy qism)
Bir o‘lchamli atom kristall modeli. Avval bir biriga bog‘langan bir tipdagi ikki atom- lar tebranishini ko‘rib keyin n bir o‘lchamli atomlar uchun umumlashtiramiz. Faraz qilaylik ikki atom bir biri bilan “prujina” bilan bog‘langan bo‘lsinlar. O‘z navbatida ikkala atom ham chegaraviy atomlardir (12 rasm). Rasmdagi ta’svir bu albatta modeldir. Undagi 2 atomni x o‘q-
ni musbat yo‘nalishi bo‘yicha «tortsak» 1- chi atomga 2- chi atom tomonidan «kvazielastik kuch» ta’sir qiladi. Nyutonning 3-chi qonuniga ko‘ra . Natijada muvozanat buzila-di va masofalar o‘zgaradi (13 rasm). Rasmdan ko‘rinadiki ,
Endi atomlarning “harakat” tenglamalarini tuzamiz. Nyutonning 2- chi qonuniga ko‘ra 1- chi atomning tenglamasi׃ yoki , siljish kiritamiz׃ , u holda , chunki atomlar orasidagi dastlabki masofa ga teng, siljishdan keyin , bu deganiki atomlar orasidagi masofa o‘zgarishi teng bo‘ladi. kuch Guk qonuniga muvofiq atomlar orasidagi “masofa” o‘zgarishi zaminida paydo bo‘ladi. Atomlar bir hil bo‘lgani uchun, fikran 1 va 2- chi atomlarni joyini almashtiramiz, natijada 2-chi atomning tenglamasi kelib chiqadi. , chetki atomlarni siljishlari nolga tengligini hisobga olsak, ya’ni
n-chi atom tenglamasiga kelamiz׃ , «pru-jinaning» go‘yoki bikrligi. SHuni nazardan qochirish kerakmaski siljishda atomlarning «di-namikasi» yotibdi, 13-chi rasmda faqat «qotib» qolgan vaziyat aks ettirilgan xolos, aniqrog‘i׃ nazarda tutish kerak. Mexanika kursidan ma’lumki chiziqli tebranish chasto-tasi formula orqali topiladi. n-chi atomning tenglamasini qulay ko‘rinishda yozib olamiz . Bir o‘lchamli atom kristall ikki tarafdan chegaralangan bo‘lgani uchun mazkur tenglamani turg‘un to‘lqin ko‘rinishida qidiramiz, bu erda , n-chi atomning koordinatasi (n= 0, 1, 2, 3…, N+1). CHegaraviy shart-lar bajariladi agar bo‘lsa. Bundan to‘lqin sonining xusu-siy qiymatlarining spektrini olamiz׃ , i=1,2,…,N. Tebranishlar chastotasi׃ . Bu formuladan maksimal chastota qiymati kelib chiqadi׃ va mumkin bo‘lgan qisqa to‘lqin uzunligi . Hulosa qilib aytish mum-kinki panjara doimiysidan kichik uzunlikdagi issiqlik to‘lqinlari kristallarda tarqalay olmaydilar. Bu fikr keyinchalik Debay nazariyasida alohida ahamiyatga ega bo‘ladi. SHunday qilib bir o‘lchovli atom kristallarda mumkin bo‘lgan atomlarning maksimal tebranish mavjud ekan, bundan ortiq chastota bo‘lishi mumkin emas. Bu hulosa umumiy ahamiyatga ega. Mazkur teb-ranishlar akustik tebranishlar deb aytiladi. 14 rasmda chastotani dispersiya qonuni keltiri-lgan. Agar chiziqli zanjir ikki turdagi zarralardan masalan musbat va manfiy ionlardan iborat bo‘lsa yuqoridagi kabi hisoblashlar ikkita dispersiya qonuniga olib keladi. Ularga ikkita chastota mos keladi. Biri akustik chastotalar ikinchisi optik chastotalar. Spektrda «tokcha» paydo bo‘ladi (15 rasm). Ishqoriy-galoid kristallarda tebranishlarning optik moda-
lari elektromagnit nurlanish ta’sirida uyg‘onadi. Akustik modalarni akustik generator yordamida uyg‘otish mukin. SHuni aytish joyizki akustik modalar juda past temperaturalarga-cha (hozirgi kunda eng past temperatura 10- 4K tashkil qiladi) mavjud bo‘ladi. 2. Eynshteyn issiqlik sig‘imi nazariyasi. Klassik tasavvurlarga ko‘ra N atomlardan tarkib topgan kristall
3N erkinlik darajali sistemadir, Bolsman N-teoremasiga muvofiq har bir erkinlik dara- jasiga o‘rtacha energiya to‘g‘ri keladi, kinetik energiya va potensial energiya ko‘rinishida. Bu tasavvurlardan Dyulong-Pti qonuni kelib chiqadi. Unga ko‘ra qattiq jismni-ng issiqlik sig‘imi . Formulani o‘zidan ham ko‘rinib turibdiki barcha mavjud kristal-larning issiqlik sig‘imi bir hil ekan. Bu bir oz shubhali ham tuyulishi mumkin. Kristallar-ning o‘ziga hos spetsifikasi yo‘qolgandek. Past temperatura sohasida bu qonundan chetlanish tajribada kuzatildi. To‘g‘ri nazariy formulani topish niyatida yurgan Eynshteyn Plankning energiyaning kvantlanishi gipotezasiga suyanib tugundagi atomlarni garmonik ossillyatorga qiyoslab, ularning (ya’ni endi bog‘langan ossillyatorlarning) energiyasi qiy-matlar qabul qiladi degan fikrga keldi. Bolsman taqsimotidan kelib chiqib garmonik ossi-llyatorning o‘rtacha energiyasi . U holda kristallning ichki energiyasi . Bu formulani temperatura bo‘yicha differensiyallasak kristallning molyar issiqlik sig‘imini topamiz . Ikki chegaraviy holni ko‘-rib chiqaylik. a) YUqoriy temperaturalar ( ). Bu holda eksponenta . Nati-jada Dyulong-Pti qonuniga kelamiz . b) Past temperaturalar ( ). Bu holda mahrajdagi bir sonini tashlab yuborish mumkin. Natijada . Ekspone-nsial ko‘paytuvchi qaraganda tezroq o‘zgaradi. SHuning uchun sig‘im uchun ifoda nolga eksponensial qonunga muvofiq intiladi. Tajriba shuni ko‘rsatdiki, kristallarning issiq-lik sig‘imi absolyut nol temperatura yaqinida eksponensal qonun emas, balki qonunga yaqinroq intilar ekan. SHunday qilib Eynshteyn nazariyasi past temperaturalarda issiqlik sig‘imini o‘zgarish dinamikasining faqat sifat jihatidan to‘g‘ri talqin etdi. Tajriba bilan miqdoriy kelishuvli nazariyani Debay yaratishga erishdi (1912). 3. Debay nazariyasi. Debay kristallarda atomlarning tebranishlari aslida mustaqil bo‘lmasligini inobatga oldi. Bu ma’noda Eynshteyn nazariyasi birinchi yaqinlashish vazfasini o‘tadi. Bir o‘ylashda Eynshteyn nazariyasi kristall mustaqil ravishda tebranayotgan ossillyatorlar sistemasi deb qaralgan edi bunday qarash metodik jihatdan unchalik ham nomaqbul emas, haqiqatdan ham termodinamik muvozanat sharoitida ossillyatorlarni mustaqil bir biriga bog‘liq emas deb hisoblash mum-kin (masalan kristallarda p’ezoeffekt shu kabi tushuntiriladi). P’ezoelektrik effekt kris-tallni mexanik ishlov berishda ortiqcha zaryad paydo bo‘lishi bilan bog‘liq. Kristallda (ya’ni termodinamik sistemada) kuchli mexanik kuchlanishda uning elektroneytrallik hossasi buzi-ladi (nomuvozanatli termodinamik sistema) va kompensatsiyalanmagan ortiqcha zaryad kristall sirtiga chiqib qoladi va mexanik deformatsiyaga olib keladi. Debay bo‘yicha kristall o‘zaro elastik bog‘langan N atomlar sistemasidir. Erkinlik darajasi 3N. Kvant fizika kursidan ma’lumki ( ) intervalida turg‘un to‘lqinlar (normal tebranishlar) bor.
Q attiq muhitda uch hildagi to‘lqinlar tarqalishi mumkin׃ birtasi bo‘ylanma, qolgan ikkitasi o‘zaro ko‘ndalang to‘lqinlar ( 16 chizma). U holda yuqoridagi formula o‘zgaradi׃
. Hisob-kitobni osonlashtirish maqsadida ko‘ndalang va bo‘ylanma to‘lqinlarning tarqalish tezliklari bir hil deb hisoblaymiz. U holda
. Maksimal chastota bizga ma’lum (1-chi punt), uni atomlarning hajm birligidagi soni bilan bog‘lash mumkin׃ . Bu er-dan .Eslatib o‘tamiz kri-stallda eng kichik to‘lqin uzunligi va formulaga kelamiz. Kristall hajmi birliginining ichki energiyasi . o‘rniga uning ifodasini ko‘ysak
formulaga kelamiz. Integralni ko‘rinishga keltirish mumkin. Bu erda kristallning nolinchi tebranishlarining energiyasi. dan temperatura bo‘yicha hosi-la kristall hajm birligining issiqlik sig‘imini beradi .
− katallik Debay temperaturasi deyiladi. Bu katallik kvant va klassik sohalar-ni har bir modda uchun aniqlashtirib beradi. o‘zgaruchi kiritaylik. U holda issi-qlik sig‘imi uchun ifoda quyidagi ko‘rinishga keladi . Demak
, ya’ni biz kub qonunini oldik unga muvofiq (17 rasm).
|
