I bobning xulosasi.
Muhitning yorug`lik bilan ta’sir hodisasini elektiromagnit maydonlarning umumiy nazariyasidan kelib tushuntirish murakkab bo`lib xususiy hollarda ko`rib chiqish maqsadga muvofiq.
Anizotropik muhitda sodir bo`ladigan dispersiyani oddiy va g`ayri oddiy sindirish ko`rsatkichlari fazalar farqida ifodalash qulaydir.
Fazalar farqini tanlash yo`li bilan optik tajribalari uchun muhim bo`lgan yarim va chorak to`lqin uzunlik ajratish mexanizmi spektraskopiya uchun samaralidir.
II боб. Yoru’glikning izotrop muhitdagi dispersiyasi.
2.1. Nurlanishning modda bilan ta’sirlashishi nazariyasi.
Yorug’lik va moddaning ta’siri qaralganda nazariya muhit modeli Maksvel tenglamalari va moddiy tenglamalari asosid quriladi.
Muhitga tushayotgan yorug’lik atomdagi elektronlarning tebranishlarini jadallashtiradi. Bunda yorug’lik elektronlarga o’zining energiyasini berib yutiladi, hol buki tebranayotgan zaryadlar endi ikkilamchi yorug’lik to’lqini manbasi bo’ladi. Tushayotgan nurlanish va ikkilamchi yorug’lik to’lqinlari interferensiyasi natijasida yorug’lik maydoni shakillanadi.
Ko’p hollarda atomlar soni juda ko’p va ular bir-biriga shunchalik yaqin joylashganki muhitning diskret strukturalari namoyon bo’lmaydi. Modda o’zini to’liq muhit singari tutadi va qutblanish elektr va magnit induksiyalari kabi muhit xarakteristikalarni kiritishga imkon beradi.
Elektromagnit maydon tenglamasi (Maksvel tenglamasi) asosida yorug’lik va moddaning o’zaro ta’sirlashishi nazaryasi tuziladi.
(2.1.1)
E va D – elektr maydon kuchlanganligi va inbuksiyasi, H va B – magnit maydon kuchlanganligi va inbuksiyasi, - zaryad zichligi, j –tok zichligi, c- yorug’likning vakuumdagi tezligi. Tenglama Gaus birliklar sistemasida yozilgan.
Muhitning xususiyatlarini moddiy tenglamalar ifodalaydi. Bu tenglamalar Maksvel tenglamalarini to’ldiradi.
(2.1.2)
Bu tenglamalar elektromagnit maydoniga muhitning sadosini tasvirlaydi: muhitning qutblanishi - birlik hajimdagi elektr dipollarining paydo bo’lishi muhitning magnitlanishi - birlik hajimdagi magnit moment. - o’tkazuvchanlik toki. Bu uchta kattaliklarning yorug’lik bilan uyg’otilgan muhitda o’zini tutishi masalasi asosan oxirgi o’ttiz yil lazerlar davrida javobini topayapti.
Radiochastotali maydonlar uchun moddiy tenglama quyidagicha yoziladi.
(2.1. 3)
Dielektirik kirituvchanlik va magnit kirituvchanlik diekektirik singdiruvchanlik Xe va magnit singdiruvchanlik Xm ifoda bilan bog’langan.
(2.1.4)
(2.1.3) tenglamalar va vektorlarni quyidagicha tasavvurlari maxsulidir.
(2.1.5)
Fizik nuqtai nazardan (2.1.5) ifoda asosida ba’zi ta’savvurlar yotadi: - beinersiyalik ( qutublanish va magnitlanish maydonlarning vaqt bo’yicha o’zgarishini aniq qaytaradi.
- lokol’lik ( va larning bo’shliqdagi ba’zi nuqtadagi qiymati , xuddi shu nuqtadagi maydonning qiymatidan anqlanadi).
- chiqlilik (2.1.5) tenglama chiziqli
- izobrasiyasi (singdiruvchanliklar skalyar qiymatlarda izoxlanadi).
(2.1.4) va (2.1.5) moddiy tenglamalar optikada keng qo’laniladi.
Atomlardagi optic rezonanslar Molekulalar va kondensirlangan muhitlarda muhitning optic javobini (2.1.5) tenglama orqali izohlash qulaydir. Qutublanishda javobning inersiyaligi
(2.1.6)
Qizig’i (2.1.6) ga ko’ra qutublanishning biror vaqt momentidagi qiymati maydonning faqat o’sha momentidagi qiymati bilan emas, balki undan oldingi qiymati bilan aniqlanishi mumkin, boshqacha qilib aytganda muhitning ,,xotirasi’’ namoyon bo’ladi.
Kuchli lazer maydonlarda muhitning javobi chiziqli bo’lmay qoladi. Bunda (2.1.5) tenglamani qutublanish uchun darajalari bo’yicha cheksiz qator bilan almashtirilishi kerak.
(2.1.7)
Kuchli lazer maydonlarida umumiy holda qutublanish ayirmasida magnit maydoni ham kiradi.
X(2) , X(3) - koeffsientlar nochziqiy sindiruvchanglik deb nomlanadi.
Muhitning molekula yoki atomlarining xususiy tebranishlari rezonansiga kuchli lazer nurlanish tushganda muhit javobi lokalligi faqat yaqinlashishgina bo’ladi.
(2.1.8)
Muhitning optik aktivligi chiziqli qutblangan to’lqinning qutblanish tekisligini ko’rganda muhit javobi lokallashmagan bo’ladi.
Yorug’likning muhitdagi to’lqin funksiyasi.Turli xil muhitlardan optikaga muhimi bu: dielektrik muhit, nomagnit va neytral muhitlar bu mihitlarda
, , (2.1.9)
moddiy (2.1.10)
Maksvel tenglamasi ko’rinishida
(2.1.11)
(2.1.9) shartlar bilan aniqlanadigan muhitlar sinfi kengdir. Masalan: havo, suv, kristallar, shisha, plasmassalar va hokazo. Bunda
(2.1.12)
Ifoda o’rinli (2.1.10) ga ekvivalent va qutblanish orqali ham yozish mumkin.
(2.1.13)
Kelgusida moddiy tenglama deb (2.1.13) ni tushinamiz. (2.1.11) va (2.1.12) ifodalardan
Quyidagi tenglama chiqariladi
(2.1.14)
Unga yorug’likning muhitdagi to’lqin tenglamasi deyiladi. Bu og’madan ko’rinadiki optic qutblanish yorug’lik maydonini manbai hisoblanadi. O’znavbatida qutblanish muhitga tushayotgan yorug’lik to’lqini maxsuli bo’ladi.
Qutblanish hajim birligidagi dipole momenti ma’nosiga ega shuning uchun moddiy tenglamani topish, electron harakatini izoxlovchi tenglamani echishga olib keladi. Bunday tenglamalar Nyuton klassik modeli tenglamasi kvant fizikasida sherodinger tenglamasi.
(2.1.13) va (2.1.14) tenglamalar birgalikda yopiq tenglamalar sistemasini tashkil qiladi. Bu tenglamalar qo’laniladigan boshlang’ich va chegaraviy shartlari bilan to’ldirilgan holda dielektirik, neytral nomagnit muhitda yorug’lik tarqalish prosessini to’liq aniqlaydi.
Muhitlarni sinflash. Ramziy ravishda muhitlarni sinflarni moddiy tenglama (2.1.13) asosida o’tkazamiz. Qutblanish bog’liqligi local va noinersial bo’lgan muhitga dispersiyalanmaydigan deyiladi. Bunda muhitning qutblanishining fazoning biror nuqtasidagi va biror vaqt momentidagi qiymatini maydonning ayni shu nuqta va vaqt momentidagi qiymatidan aniqlanadi.
Muhitning nolokal chaqirig’I fazoviy dispersiyaga olib kelsa, inersialligi (P ning E ga nisbatan kechikishi) vaqtiy yoki chastotaviy dispersiyaga olib keladi.
Agar qutblanishning bog’liqligi chiziqli operatorlar bilan ifodalansa muhit chiziqli deyiladi.
(2.1.15)
L- operator tenzorli operator yoki chiziqli kechikuvchan funksiya bo’lishi mumkin.
Agar qutblanishning maydonga bog’liqligi nochiziqiy operator bilan ifodalansa muhit nochiziqiy deyiladi.
(2.1.16)
Agar qutublanish vektori maydon vektori parallel yo’nalgan bo’lsa muhit izotrop deyiladi.
(2.1.17)
Va nihoyat qutublanish vektopi maydon vektori noparalel yo’nalgan bo’lsa muhit anizatrop deyiladi.
(2.1.18)
Shuni inobatga olish keraki dispersiyaning chiziqlilik va izotroplik xususiyatlari o’zaro bog’lanmagan. Masalan chiziqli muhit ham dispersiyalanovchi, ham dispersiyalanmovchi izotrop yoki anizotrop bo’lishi mumkin.
Shu masalani nochiziqiy muhit uchun ham keltirish mumkin.
Chiziqli bir jinsli izotrop muhitda yassi monoxromatik to’lqinning qarqalishi.
Maksvel va moddiy tennglamalar chiziqli bo’lganligidan chiziqli muhitlarda optic superpozitsiya prinsipi mavjud. Bu prinsipga ko’ra turli yorug’lik to’lqinlari muhit bilan o’zaro bog’liq bo’lmagan tarzda ta’sir qiladi.
Spektral yondashuv asosida ixtiyoriy yorug’lik maydonini yassi monoxromatik to’lqinlar jamlanmasi ko’rinishida tasavvur qilish mumkin. Agar muhit chiziqli bo’lsa, unda har qaysi to’lqin boshqalariga bog’liq bo’lmagan holatda tarqaladi. Shuning uchun elementar yassi monoxromarik yorug’lik to’lqinini ko’rib chiqish yetarli bo’ladi, undan keyin superpozitsiya pirinsipini va spectral yoyilish texnikasi asosida ixtiyoriy nurlar dastasi yoki impulslarini hisoblashimiz mumkin.
Qaysidir chiziqli muhitda yassi monoxromatik yorug’lik to’lqini tarqalsin.
Bunda -chastota, k- to’lqin vektori, ε- to’lqinning kompleks amplitudasi, k.q –kompleks qo’shmasi (2.1.11) va (2.1.13) tenglamalar chiziqliligidan magnit maydon elektir induksiyasi va optic qutblanish ham chastotali va to’lqin vektorli yassi monoxramatik to’qin strukturasiga ega bo’ladi.
(2.1.20)
qaerda , , - to’lqinning kompleks ampilitudalari (2.1.19) , (2.1.20) ifodalarini (2.1.11) Maksvel tenglamasiga qo’yamiz. Bunda kompleks ampilitudalar uchun algebravik tenglamalar sistemasini olamiz.
(2.1.21)
yoki
(2.1.22)
Birinchi tenglamani vektorga ko’paytirish tenglamalaridan ni chiqaramiz.
Yoki
(2.1.23)
Ikkilamchi vektor ko’paytmasini ochib quyidagi tenglamaga o’tamiz
(2.1.24)
Keltirilgan tenglama izotrop va anizotrop bo’lgan ixtiyoriy chiziqli muhitlar uchun o’rinli. Agar yorug’lik to’lqini vakuumda tarqalsa unda va (2.1.24) tenglamadan kelib chiqadi.
Izotrop muhitda vektor vektorga parallel shuning uchun (2.1.12) dan vektor vektorga parallel. Maksvel tenglamasida tenglamadan kelib chiqadi, o’z navbatida
(2.1.25)
natijasini (2.1.14) tenglamaga hisobga olib
(2.1.26)
Bu tenglama chiziqli va nochiziqli izotrop muhitlar uchun o’rinli. Holbuki faqat yassi monoxramatik to’lqin uchun balki ixtiyoriy ko’rinishdagi yorug’lik maydonlari uchun o’rinlidir.
Muhitning komplek dielektirik kirituvchanligi chiziqli optic singdiruvchangligi va kompleks sindirish korsatgichi.
Izotrop muhitda va vektorlar parallel bo’lishlari kerak. Tabiiyki vaqtga bog’liq bo’lmagan , va kompleks amplitudalar vektorlari ham parallel bo’lishlari kerak. Shu asosda
(2.1.27)
(2.1.28)
Munosabatlarni yozish mumkin. Bunda va skalyar kattaliklar ular yorug’lik chastotasiga bog’liq bo’lishi mumkin. muhitning kompleks singdiruvchangligi, - muhitning optik krituvchanligi. (2.1.27) tenglamani (2.1.24) tenglamaga qo’yamiz
(2.1.29)
(2.1.30)
(2.1.31)
kritilgan kattalik
muhitning sindirishining kompleks ko’rsatkichi.
Yorug’lik to’lqinning chastotasiga va to’lqin sonining k o’zaro bog’laydigan (2.1.31) tenglamasi dispersiya tenglamasi deyiladi. Keltirilgan tenlama chiziqli izotrop muhitlar uchun o’rinli. Agar yorug’lik to’lqini vakumda tarqalsa undagi (2.1.31) tenglama
Birlik vektor orqali (2.1.31) tenglamani yozish mumkin.
(32a)
Muhitda va vektorlar bir xil yo’nalgan muhitda ham Poyting vektorining o’rtacha qiymati bilan aniqlanad.
Burchak qavuslar yorug’lik tebranishlarining davri bo’yicha o’rtalashtirishini belgilaydi.
(19), (10) formulalardan foydalanib kompleks ampilitudalar orqali ifodalash mumkin.
elektr kuchlanganligi kompleks …….(22), (32) dan
(32v) ni (32b) ga qo’yib
Olamiz va intensivlik uchun
(32g) formula shaffof chiziqli muhitdagi yorug’lik intensivligini aniqlaydi. Agar n=1 bo’lsa vakuumdagi yorug’lik intensivligiga o’tadi.
I
Yuqorida biz chiziqli izotrop muhitda monoxromatik yorug’lik to’lqini tarqalganda qutblanish va maydon orasidagi bog’lanishni ko’rdik. Endi ixtiyoriy ko’rinishdagi yorug’lik to’lqini uchun umumlashtiramiz.
Muhit javobining likalligi tasavvurida maydon kuchlanganligi va qutblanishni Fure integrali ko’rinishda yozamiz.
(2.1.33)
(2.1.34)
Muhitning chiziqliligi uchun qutblanish va maydon spectral ampilitudalari bog’liqligi.
(2.1.35)
- muhitning chiziqli optik krituvchanligi (2.1.35) tenglamani (2.1.34) tenglamaga qo’yib va Furening teskari almashtirish formulasini qo’llab
(2.1.36)
(33) formuladan kelib chiqadigan
(2.1.37)
(2.1.38)
E(t) va funksiyalarning konkret ko’rinishlarini berib (2.1.37), (2.1.38) formulalardan P(t) funksiyani hisoblash mumkin.
Agar E(t) juda qisqa impuls ko’rinishida bo’lsa
(2.1.39)
Unda (2.1.37) formuladan
(2.1.40)
(2.1.37) formuladagi X(τ) cheksiz qisqa impulsga sistemaning javobini izohlaydi.
X(τ) funksiyani impulsga javob funksiyasi yoki berilgan chiziqli sistemaning Grin funksiyasi deb yuritiladi.
Grin funksiyasi (2.1.38) formuladan ko’rinadiki barcha chiziqli sistemalar uchun umumiy xususiyat funksiya Fure almashtirishidagi chastota koeffisienti bilan bog’langan. (2.1.38) formulani o’zgartirib yozamiz
(2.1.41)
Sistemaning javobi unga ta’sirdan oldin bo’lmaganligidan (2.1.39), (2.1.40) formulalardan
(2.1.42)
Holbuki Grin funksiyasi argumentning musbat qiymatlarida noldan farqli. Bu esa (37) va (41) formulalar quyidagicha yozishga asos bo’ladi.
(2.1.43)
(2.1.44)
(2.1.43) formula Dyualil integrali deyiladi. Bu formulaga ko’ra chiziqli sistema javobi boshlang’ich tasirga nisbatan chiziqli kechikuvchan funksional hisoblanadi.
Shunday qilib chiziqli izotrop muhitning moddiy tenglamasi (2.1.43) ko’rinishga egadir. Grin funksiyasi muhitning xossalariga bog’liq va optik kirituvchanlik X(τ) bilan (2.1.38) formula bilan bog’langan.
Muhitning klassik ossillesion modeli. Biz ko’rayotgan chiziqni izotrop muhit bir jinisli bo’lsin. Bunda birlik hajimdagi dipole moment ma’nosiga ega muhitning optik qutblanishni
(2.1.45)
Tasavvur qilish mumkin N- birlik hajimdagi atomlar soni - alohida atomning dipole momenti. Dipol momentining aniqlanishi bo’yicha
(2.1.46)
Qaerda e – elektron zaryadi, - elektronning atom yadrosiga nisbatan siljishi. Elektronning yadrosi nisbatan siljishi yorug’lik maydoni ta’sirida sodir bo’ladi, o’z navbatida Bu bog’lanishni ko’rinishini keltirish uchun atom modelini konkretlashtirish kerak.
Lorens taklif qilgan atomning klassik modelini ko’raylik.Bu modelga asosan atom garmonik ossilyator singaridir va
(2.1.47)
Tenglamaga bo’ysinadi. Bunda m- electron massasi, elektronning atomdagi xususiy tebranishlari chastotasi G parametr tebranishning so’nishini izohlaydi. Maydonning komplek … ko’rinishi (2.1.19) ni (2.1.47) tenglamani qo’yamiz
-elektronning radius vektori ma’nosiga ega. Atomning o’lchami a yorug’lik to’lqini dan juda kichik bo’lganligidan Bu munosabat atomni nuqtaviy hisoblashga ruxsat beradi.
Lorens modelida muhitning qutiblanishini hisoblaymiz. (2.1.48) tehglamani echishni quyidagi ko’rinishda qidiramiz.
(2.1.49)
qaerda - elektronning yadriga nisbatan siljishining kompleks amplitudasi. (2.1.49) formulani (2.1.48) ga qo’yib - ni topamiz.
(2.1.50)
Muhitning qutblanishi (2.1.45), (2.1.46), (2.1.49) asosan
(2.1.51)
Yana (51), (20) dan kelib chiqadiki
(2.1.52)
Yoki (50) hisobga olib
(2.1.53)
Lopens modelidagi chiziqli optic kirituvchanlik uchun (28) va (53) formulalarini taqqoslab
(2.1.54)
(12),(19), (20) lardan kelib chiqadiki
(2.1.55)
(27), (28), (55) ni etiborga olib
(2.1.56)
Yoki (54) ni etiborga olib
(2.1.57)
Bu formula Lorens modelida muhitning kompleks dielektirik singdiruvchanligini ifodasini olish uchun (47) ….magnit Ne ga ko’paytidamiz.
(2.1.58)
Muhitning izotropik shartidan
(2.1.59)
Skalyar tenglamaga o’tamiz
(2.1.60)
E (t) ning ixtiyoriy funksiyasi uchun tenglamaning echimini topish oson. Buning uchun spectral metoddan foydalanamiz va (33), (34) tengliklarni (60) ga qo’yamiz. Unda qutblanish va maydonning spectral amplitudalarini bog’lovchi formulani olamiz.
(2.1.61)
(35) va (61) tenglamalarni solishtirib ni topamiz
(2.1.62)
formula bilan mos keldi. Endi(62) ifodani (38) ifodaga qo’yamiz va integrallaymiz.
Qaerda … Bu formula Lorens modelida muhitning impulsli javobini aniqlaydi (63) ifoda (42) shartga bo’ysiyapti. Demak biz mikroskopik garmonik ossillyatorlardan tashkil topgan chiziqli izotrop muhit uchun moddiy tenglamani keltirdik.
| 