1.3.7-misol. Korxona mahsulotining 96 % I yaroqli deb tan olinadi. Har 100 ta yaroqli mahsulotdan 75 tasi birinchi sortli bo`lar ekan . Tasodifan olingan mahsulotning birinchi sortli bo`lish ehtimolini aniqlang.
Izlanayotgan mahsulot va hodisalarni yuz berishidan iborat bo`lgan hodisaning ehtimolidir.Shartga ko`ra va . Shuning uchun ko`paytirish teoremasi quyidagi natijalarni beradi:
1.3.8-misol.Ayrim o`q uzishda o`qning nishonga tegish ehtimoli 0,2 ga teng. Agar portlagichning 2% i nishonga portlamay qolsa (ya`ni 2% holda o`q uzilmay qoladi), o`qning nishonga tegish ehtimoli qancha ?
hodisa o`qning otilishidan iborat bo`lsa , esa unga qarama- qarshi hosida bo`lsin. U holda masala shartiga ko`ra bo`lib , qo`shish teoremasining natijasiga muvofiq , So`ngra shartga ko`ra
O`qning nishonga tegishi va hodisalarning birgalikda yuz berishidan iborat bo`lgan hodisadir(o`q otiladi va nishonga tegadi). Shuning uchun ko`paytirish teoremasiga asosan.
Agar hodisalarning erkliligi tushunchasidan foydalansak , ko`paytirish teoremasining muhim xususiy holini hosil qilamiz.
Agar ikkita hodisadan birining ehtimoli ikkimchisining yuz berishi yoki yuz bermasligi natijasida o`zgarmasa , u holda bu hodisalar erkli hodisalar deyiladi.
O`yin soqqasining takror tashashda u yoki bu ochkoning tushishi , shuningdek ,tangani takror tashlashda uning u yoki bu tomonining tushishi erkli hodisalarga misol bo`la oladi, chunki tangani ikkinchi marta tashlashda gerbil tomon tushish ehtimoli tangani birinchi tashlashda gerbil tomon tushgan yoki tushmaganligidan qat`i nazar ga teng.
Shunga o`xshash, oq va qora sharlar solingan yashikdan olingan birinchi shar unga qayta solinsa , ikkinchi marta olingan sharning oq bo`lish ehtimoli birinchi olingan sharning oq yoki qora bo`lishiga bog`liq emas.Shuning uchun birinchi va ikkinchi marta shar olish natijalari o`zaro erkli bo`ladi.
Aksincha , agar birinchi olingan shar yashikga qayta solinmasa , u holda ikkinchi marta shar olinishidagi natija birinchi marta shar olish natijasiga bog`liq ravishda o`zgaradi, chunki birinchi marta shar olinish natijasiga qarab yashikda sharlarning sostavi o`zgaradi.Bu yerda biz bog`liq hodisalar misoliga egamiz.
Shartli ehtimol uchun qabul qilingan belgilashlardan foydalanib, va hodisalarning erklilik shartini
yoki
Ko`rinishida yozish mumkin.
Bu tengliklardan foydalanib , erkli hodisalar uchun ko`paytirish teoremasini quyidagi formaga keltirishimiz mumkin.
Agar va hodisalar erkli bo`lsa, u holda ularning birgalikda yuz berish ehtimoli bu hodisalar ehtimollarining ko`paytmasiga teng:
Haqiqatdan ham , ko`paytirish teoremasining dastlabki ifodasida va hodisalarning erkliligidan kelib chiqadigan tenglikni e`tiborga olsak, isbot qilinishi talab qilingan tenglikni hosil qilamiz.
Endi bir nechta hodisalarni qaraymiz.Agar hodisalardan istalgan birining yuz berish ehtimoli boshqalarining yuz berish yoki yuz bermasligiga bog`liq bo`lmasa , u holda bu hodisalar birgalikda erkli deyiladi.
Hodisalar birgalikda erkli bo`lgan holda ko`paytirish teoremasini ularning ixtiyoriy chekli sondagisi uchun quyidagicha ta`riflash mumkin.
Birgalika erkli bo`lgan hodisalarning birgalikda yuz berish ehtimoli shu hodisalar ehtimollarining ko`paytmasiga teng:
Bu da`vo ham induksiya bo`yicha isbot qilinadi.
| 