Ko`paytirish teoremasi. va hodisalarning birgalikda yuz berish ehtimoli bu hodisalardan birining ehtimolini ikkinchi hodisaning birinchi hodisa yuz bergandagi shartli ehtimoliga ko`paytmasiga teng:
Bu yerda va hodisalarning birgalikda yuz berishi deganda ularning ikkalasi ham ya`ni ham hodisaga ham hodisaning yuz berishiga qulaylik tug`diradigan yoki qulaylik tug`dirmaydigan ta teng imkoniyatli jufti-jufti bilan birgalikda bo`lmagan hodisalarning to`la gruppasini qaraylik.
Bu hodisalarning hammasini quyidagicha to`rtta gruppaga ajratamiz. Birinchi gruppaga hodisalar ichida ham hodisaga , ham hodisaga qulaylik tug`diruvchi hodisalarni kiritamiz; Ikkinchi va uchinchi gruppalarga hodisalar ichida bizni qiziqtirayotgan hodisalardan biriga qulaylik tug`diradigan va ikkinchisiga qulaylik tug`dirmaydiganlarini kiritamiz; masalan , ikkinchi gruppaga hodisaga qulaylik tug`diradigan , lekin hodisaga qulaylik tug`dirmaydigan hodisalar , uchinchi gruppaga esa hodisaga qulaylik tug`diradigan lekin hodisaga qulaylik tug`dirmaydigan hodisalar kiritiladi; nihoyat , to`rtinchi gruppaga hodisalar ichida hodisaga ham , shuningdek hodisaga ham qulaylik tug`dirmaydiganlarini kiritamiz.
hodisalarning nomerlanishi ahamiyatiga ega bo`lmaganligi sababli ajratilgan gruppalar quyidagicha bo`ladi:
I gruppa:
II gruppa:
III gruppa:
IV gruppa:
Shunday qilib ,teng imkoniyatli va jufti-jufti bilan birgalikda bo`lmagan ta hodisalar orasida ham hodisaga ham hodisaga qulaylik tug`diruvchi ta hodisa , hodisaga qulaylik tug`diradigan , lekin hodisaga qulaylik tug`dirmaydigan ta hodisa , hodisaga qulaylik tug`diradigan , lekin hodisaga qulaylik tug`dirmaydigan ta hodisa , va nihoyat , hodisaga ham hodisaga ham qulaylik tug`drimaydigan ta hodisa bor .
Biz ko`rib o`tgan gruppalarning birortasida (hatto bir nechtasida ham) bitta ham hodisa bo`lmay qolishi mumkinligini qayd qilamiz.Bu hodisa shu gruppadagi hodisalar sonini ko`paytiruvchi tegishli son nolga teng bo`ladi.
Hodisalarni yuqorida ko`rsatilgandek gruppalarga ajratishimiz darhol ushbu
tengliklarni yozishda imkon beradi, chunki va hodisalarning birgalikda yuz berishiga faqat birinchi gruppadagi hodisalar qulaylik tug`diradi. hodisaga qulaylik tug`diruvchi hodisalarning jami soni birinchi va ikkinchi gruppalardagi hodisalarning umumiy soniga , hodisaga qulaylik tug`diruvchi hodisalar soni esa birinchi va uchinchi gruppalardagi hodisalarning jami soniga teng .
Endi ehtimolini , ya`ni hodisaning hodisa yuz berganligi shartida ehtimolini hisoblaymiz.Bu hodisada uchinchi va to`rtinchi gruppalarga kiritilgan hodisalar hisobga olinmaydi, chunki bu hodisalarning ro`y berishi hodisaning yuz berishiga ziddir. Demak , mumkin bo`lgan barcha hodisalar soni endi ta emas , balki ta bo`ladi. Bulardan hodisaga birinchi gruppa hodisalarigina qulaylik tug`diradi . Shuning uchun
tenglikni yoza olamiz.
Teoremani isbot qilish uchun endi ushbu
ayniy tenglikni yozib , undagi uchala kasrni ham yuqorida hisoblangan ehtimollar bilan almashtirish kifoya . Biz isbot qilinishi talab qilingan
Tenglikni hosil qilamiz.
Yuqorida yozilgan ayniyat bo`lgandagina ma`noga ega ekanligi o`z– o`zidan ravshan.Bu esa hodisa mumkin bo`lmagan hodisa bo`lmagan barcha hollarda o`rinli.
va hodisalar teng huquqli bo`lganligi uchun ularning o`rinlarini almashtirib , ko`pyatirish teoremasining boshqacha formulasini hosil qilamiz :
Bu tenglikni , shuningdek , ekanini hisobga olib va ayniyatdan foydalanib , yuqoridagi yo`l bilan hosil qilish ham mumkin edi .
ehtimol uchun hosil qilingan ifodaning o`ng tomonlarini taqqoslab , ko`p hollarda foydai bo`gan
tenglikni hosil qilamiz.
Endi ko`paytirish teoremasini misollar orqali tushuntiramiz.
|
