| 2.1.7-ta`rif. tasodifiy jarayon va lar uchun – chekli vaqt momentlari guruhi bo`lsin . ) tasodifiy vektorning taqsimotijarayonning n o`lchovli taqsimoti deyiladi. Turli va mumkin bo`lgan barcha vaqt momentlari uchun aniqlangan taqsimotlar sinfiga tasodifiy jarayonning chekli o`lchovli taqsimoti deyiladi.
orqali tasodifiy jarayonning trayektoriyalari joylashgan
funksiyalar fazosini belgilaymiz . So`ngra orqali fazoning , ixtiyoriy va ixtiyoriy Borel to`plami uchun.
ko`rinishidagi barcha qism to`plari yaratgan algebrani belgilaymiz. (2.1.2) ko`rinishidagi to`plamlar silindrik to`plamlar deyiladi.
tasodifiy jarayonni (Ω, Å) o`lchovli fazoni (ℵ ,) o`lchovli fazoga . Borel o`lchovli akslantirishi deb talqin qilish mumkin.Bu akslantirish (ℵ ,) fazoda
tenglik orqali ehtimol o`lchovini yaratadi.
uchlik tanlanma ehtimollar fazosi deyiladi va bu fazoda elementar hodisa jarayonning trayektoriyasi bilan aynan teng deb hisoblanadi, o`lchov esa tasodifiy jarayonning taqsimoti deyiladi.
tasodifiy jarayonnning chekli o`lchovli taqsimotlari silindrik to`plamlar sinfida aniqlangan. Ushbu kitobda kirmagan A.N.Kolmogorov tomonidan isbotlangan mashhur teoremaga asosan bu taqsimoylarni silindrik to`plamlar algebrasi dan – algebraga davom ettirish mumkin va buning natijasida hosil bo`lgan Taqsimot berilgan jarayonning taqsimoti bilan ustma-ust tushadi.Aytilganlardan kelib chiqadiki , taqsimot hamma chekli o`lchovli taqsimotlar bilan bir qiymatli aniqlanadi . Bizga ma`lumki, chekli o`lchovli taqsimot funksiyalar chekli o`lchovli taqsimotlarni to`la aniqlaydi.Shuning uchun ham tasodifiy jarayonning chekli o`lchovli taqsimotlarni aniqlash uchun mos taqsimot funksiyalarni aniqlash yetarli.
Shunday qilib, oldindan berilgan chekli o`lchovli taqsimotlarga ega bo`lgan tasodifiy jarayon mavjud, ammo umuman olganda bunday tasodifiy jarayon yagona emas ekan. Boshqa so`z bilan aytganda, chekli o`lchovli taqsimotlar tasodifiy jarayonlarning qandaydir ma`noda bir-biri bilan ekvivalent bo`lgan butun bir sinfini yaratadi. Ekvivalentlik tushunchasiga turli yondashishlarni mukammalroq ko`rib chiqamiz.
va bitta ehtimollar fazosida aniqlangan va bir xil o`lchovli fazoda (masalan, ( )da ) qiymatlar qabul qiluvchi ikkita tasodifiy jarayon bo`lsin.
2.1.8-ta`rif. Bizda va tasodifiy jarayonlar berilgan bo`lsin.Agar ixtiyoriy
tenglik o`rinli bo`lsa u holda va tasodifiy jarayonlar keng ma`noda stoxastik ekvivalent deyiladi.
2.1.1-izoh. Keng ma`noda ekvivalentlik sharti tasodifiy jarayonlarning chekli o`lchovli taqsimotlari ustma- ust tushishini bildiradi.
2.1.9-ta`rif. Agar ixtiyoriy uchun
bo`lsa, u holda tasodifiy jarayonlar stoxastik ekvivalent yoki soda qilib ekvivalent tasodifiy jarayonlar deyiladi.
Agar jarayonlar stoxastik ekvivalent bo`lsa, u holda ularning chekli o`lchovli taqsimotlari ustma-ust tushadi, ya`ni ular keng ma`noda ekvivalent bo`ladi , ammo buning teskarisi to`gri emas. Trayektoriyalar to`g`risida gapirsak, ular stoxastik ekvivalent jarayonlarda turli bo`lishi mumkin ekanligi ushbu misolda ko`rish mumkin.
2.1.5-misol. Å= oraliqdagi Borel to`plamlarining σ – algebragasi -Lebeg o`lchovi va T-[0,1] bo`lsin ehtimollar fazosida va tasodifiy jarayonlarni quyidagicha aniqlaymiz.
va . Bu jarayonlar ekvivalent ammo ularning trayektoriyalari turli ekanligi ko`rsatilsin.
Yechimi. Qandaydir fiksirlanganuchun
bitta nuqtali to`p
ning Lebeg o`lchovi nolga teng bo`lgani sababli , uchun
Ya`ni tasodifiy jarayonlar stoxastik ekvivalent . shunga qaramay jarayonlarning birorta ham ustma-ust tushadigan trayektoriyalari mavjud emas. Haqiqatdan ham , istalgan uchun nuqtada shartga ko`ra bo`lgani sababli ,
Boshqa so`z bilan aytganda tasodifiy jarayonlarning (1 ehtimol bilan) birorta ham trayektoriyalari ustma-ust tushmaydi.
Quyidagi ta`rif end kuchli ekvivalent tipini aniqlaydi.
|
