Definition:
Da parallele Vektoren Vertreter besitzen, die auf derselben Geraden (lateinisch: linea recta) liegen, nennt man solche Vektoren kollinear.
Was wir an den Beispielen erkannt haben, gilt allgemein:
Sind zwei ebene oder räumliche Vektoren linear abhängig, so sind sie kollinear (parallel).
Denn für solche Vektoren gibt es zwei Zahlen c1 und c2 mit , wobei wenigstens eine dieser Zahlen von0 verschieden ist:
1) Ist , so ergibt sich:
2) Ist c1=0, so muss und es ergibt sich: .
In beiden Fällen sind die Vektoren kollinear.
Wir vermuten nun das Umgekehrte, dass also zwei parallele Vektoren linear abhängig sind.
Sind zwei Vektoren zu einander parallel und ist , so gibt es stets eine Zahl r mit
ist , so gibt es eine Zahl s mit
Satz:
Zwei ebene oder zwei räumliche Vektoren sind linear abhängig genau dann, wenn sie kollinear (parallel) sind.
Welche geometrische Bedeutung hat es, wenn drei Vektoren linear abhängig sind?
Es gibt also Zahlen c1, c2, c3 mit , wobei wenigstens eine der Zahlen von 0 verscheiden ist.
Beispiel c3 ist ungleich 0:
Fallunterscheidung:
1) Vektor sind kollinear, also linear abhängig, so ist auch zu den beiden Vektoren kollinear.
a) Beispiel:
Wegen sind und kollinear; daher ist auch zu und kollinear.
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