Definition:
Vektoren heißen komplanar genau dann, wenn es Repräsentanten dieser Vektoren gibt, die alle in der selben Ebene liegen.
Satz:
Wenn drei räumliche Vektoren linear abhängig sind, dann sind sie komplanar.
Man könnte vermuten, dass die Umkehrung dieses Satzes gilt, dass also zwei komplanare Vektoren linear abhängig sind.
Dies wollen wir mit einem geometrischen Beweis beweisen:
Beweis:
1) Wir betrachten zu aller erst den Sonderfall, das nämlich bereits zwei Vektoren kollinear sind.
Sind zwei der drei Vektoren, zum Beispiel kollinear, also linear abhängig, dann gibt es zwei Zahlen c1 und c2 (), so dass gilt:
Also auch .
Dies bedeutet, dass die drei Vektoren linear abhängig sind.
2) Um den Beweis nachzuvollziehen, benötigen wir eine Skizze:
Abb. 14 Beweis
Wenn sich unter den drei Vektoren sich keine zwei befinden, die kollinear sind, dann haben die drei Pfeile , die als Vertreter der drei Vektoren an einem Punkt U angetragen werden, paarweise verschiedene Richtungen.
Abbildung 1 zeigt, dass durch die Spitze A3 des Pfeils zu Parallelen zu den beiden anderen Pfeilen gezeichnet sind.
Diese schneiden die Geraden g1(U, A1) und g2(U, A2) in zwei Punkten B1 und B2.
Die Pfeile sind Vertreter zweier Vektoren , die zu kollinear sind.
Daher gibt es zwei Zahlen mit .
Somit gilt:
. Daher sind die Vektoren tatsächlich linear abhängig.
Wir wollen noch einige Beispiele geben, die wir mit Hilfe der Matrix und dem Gaußschen Eliminationsverfahren lösen wollen, so könnt ihr euer Wissen aus Teil 1 noch einmal etwas auffrischen:
Prüfe folgende Vektoren auf lineare Abhängigkeit.
Lösungen:
6 Abschluss
Das war nun der zweite Teil unser Serie „Lineare Algebra und analytische Geometrie“. Wir hoffen, auch dieser Artikel hat euch gefallen. Wir wollen nun einen kleinen Ausblick für den dritten Artikel dieser Serie geben. Und zwar wird diese über Geraden und Ebenen handeln.
Euer
Florian Modler
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