| 4 Die S-Multiplikation
4.1 Die Skalar – Multiplikation
4.2 Die Gesetze der S-Multiplikation
5 Der Begriff der linearen Abhängigkeit
5.1 Linearkombinationen von Vektoren
6 Abschluss
1 Was ist analytische Geometrie
Wie der Name schon verrät hat „analytische Geometrie“ etwas mit Geometrie zu tun. Es werden also arithmetische Objekte mit geometrischen Objekten verknüpft und umgekehrt.
Oder anders ausgedrückt: Die analytische Geometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie, das algebraische Hilfsmittel (vor allem aus der linearen Algebra) zur Lösung geometrischer Probleme bereitstellt. Sie ermöglicht es in vielen Fällen, geometrische Aufgabenstellungen rein rechnerisch zu lösen, ohne die Anschauung zu Hilfe zu nehmen.
2 Der Vektor
In der analytischen Geometrie ist der Begriff des „Vektors“ von entscheidender Bedeutung. Aber was versteht man unter einem Vektor? Wir wollen dies nicht allzu kompliziert gestalten und uns auf die Definition, die man eigentlich in fast jeder normalen Schule lernt beschränken.
Einen Vektor kann man sich vereinfacht und anschaulich als einen Pfeil darstellen und vorstellen.
Abb. 1 Vektoreinführung
Betrachten wir nun zwei Pfeile:
Wir stellen fest, dass die Pfeile gleich lang, parallel
und gleich orientiert sind.
Man sagt: Die Pfeile sind Vertreter oder Repräsentanten
des Vektors . Die Vektoren sind vektorgleich.
Abb. 2 Vektorgleiche Pfeile
Dies definiert man:
Definition:
Unter einem Vektor versteht man die Menge aller zu einem Pfeil vektorgleichen Pfeile.
Zwei Pfeile heißen vektorgleich genau dann, wenn sie gleich lang, parallel und gleich orientiert sind.
Allgemeine Bezeichnungen:
: Pfeile werden durch ihre Endpunkte bezeichnet (siehe Abbildung 3)
B
B
A
A
Abb. 3 Unterschied zwischen Vektor und Pfeil
: Vektoren werden mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet
2.1 Erfassen von Vektoren durch Zahlen
Ziel dieses Abschnittes ist es, dass wir Vektoren durch Zahlen bzw. durch eine so genannte Koordinatendarstellung in Form einer Matrix darstellen können.
Dazu betrachten wir nun diese beiden Vektoren in einem Koordinatensystem.
Abb. 4 Verdeutlichung des Erfassens von Vektoren durch Zahlen
Zu Vektor :
Wir haben die Punkte A(0; 0) und B(3; 2).
Um den Vektor durch Zahlen zu erfassen, müssen wir folgende Rechnung durchführen:
Zu Vektor :
Wir verwenden die Punkte C(2; 3) und D(5; 5):
Wir stellen zusätzlich noch fest, dass diese Vektoren wahrscheinlich vektorgleich sind. Zu 100% können wir es an dieser Stelle noch nicht sagen, da wir noch keine Länge eines Vektors berechnen können, aber da die Koordinatenschreibweise übereinstimmt, sollten die Vektoren die gleiche Länge besitzen.
Wir halten fest:
Satz:
1) Sind P(p1; p2) und Q(q1; q2) zwei Punkte der Ebene und ist der Pfeil ein Vertreter des Vektors , so gilt:
2) Sind P(p1; p2; p3) und Q(q1; q2; q3) zwei Punkte des Raumes und ist der Pfeil ein Vertreter des Vektors , so gilt:
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