Satz: (Kommutativgesetz)
Für alle Vektoren gilt: .
Beweis:
Der entscheidende Beweisschritt besteht in der Anwendung des Kommutativgesetzes für die Addition reeller Zahlen in den einzelnen Koordinaten des Summenvektors.
Wir müssen uns immer wieder vor Augen führen, dass es keine Selbstverständlichkeit ist, dass wir mit Vektoren genauso rechnen können, wie mit den reellen Zahlen. Aber wir können die uns in den reellen Zahlen bekannten Gesetze zum Beweis anwenden.
2. Assoziativgesetz:
Satz: (Assoziativgesetz)
Für alle Vektoren gilt: .
Beweis:
Auch hier ist der entscheidende Beweisschritt in der Anwendung des Kommutativgesetzes für reelle Zahlen.
Um das Neutralitätsgesetz anwenden und beweisen zu können, müssen wir das neutrale Element und den Nullvektor definieren.
Aus der arithmetischen Definition der Vektoraddition ergibt sich unmittelbar, dass ein neutrales Element für die Vektoraddition an allen Stellen die Koordinate 0 haben muss. Es gilt nämlich:
Definition:
Unter dem Nullvektor versteht man den Vektor, dessen sämtlichen Koordinaten Null sind.
Dem Nullvektor ordnet man jede Richtung und jede Orientierung zu.
Für den Betrag (die Maßzahl der Länge) des Nullvektors gilt:
3. Neutralitätsgesetz:
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