3 Die Addition und Subtraktion von Vektoren
Nun liegt die Vermutung nahe, dass man mit Vektoren auch „rechnen“ kann. Aber wie kann man nun Vektoren addieren uns subtrahieren? Diese Fragen wollen wir nun in diesem Abschnitt nach gehen.
3.1 Addieren von Vektoren
Aus der Physik kennen wir schon ein so genanntes Kräfteparallelogramm. Hier greifen zwei Kräfte an einem Punkt an. Durch das Zeichnen eines Kräfteparallelogramms konnte man die resultierende Kraft bestimmen. Es war die Diagonale des Parallelogramms.
Dies können wir auf die Vektoren übertragen. Denn wir haben am Anfang gelernt, dass man sich Vektoren erstmal wie Pfeile vorstellen kann.
Abb. 6 Die Addition von Vektoren
Abbildung 6 zeigt nun die Addition von Vektoren. Um in der Physiksprache zu bleiben: Die resultierende Kraft stellt also die Summe der beiden angreifenden Kräfte dar.
Es gilt somit:
Definition:
Zwei Vektoren und werden addiert, indem man je einen Repräsentanten von und so an einander legt, dass der Anfang des zweiten Pfeils mit der Spitze des ersten Pfeils übereinstimmt. Ein Repräsentant des Summenvektors reicht dann vom Anfang des ersten Pfeils bis zur Spitze des zweiten Pfeils.
Beispiel:
Satz:
Zwei in Koordinatendarstellung gegebene Vektoren werden addiert, indem man ihre entsprechenden Koordinaten addiert.
Wir können die Allgemeingültigkeit dieser Gleichungen aus der Pfeildarstellung der Vektoraddition herleiten, wenn wir die drei Vektoren durch die Koordinatendifferenzen der drei Punkte P(p1;p2;p3); Q(q1;q2;q3) und R(r1;r2;r3) darstellen:
Wenn man die Koordinaten von und addiert, erhält man in der Tat die Koordinaten von , denn es gilt:
3.1.1 Die Gesetze der Vektoraddition:
Abbildung 6 lässt vermuten, dass auch in der Vektorrechnung das Kommutativgesetz gilt. Wir wollen nun die uns aus der Menge der reellen Zahlen bekannten Gesetze nachweisen und somit Gesetze der Vektoraddition kennen lernen.
1. Kommutativgesetz:
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