Der Wertebereich vorzeichenbehafteter Zahlen
Der Wert des Vorkommateils beträgt somit dezimal 1 ∙ 23 + 0 ∙ 22 + 0 ∙ 21 + 1 ∙ 20 = 8 + 0 + 0 + 1 = 910 2) Berechnung des NachkommateilsDer Stellenwert der Nachkommastellen errechnet sich aus Basis-Nummer der Ziffer (Zählung beginnt mit -1), d.h. im Binärsystem 2-1 für die erste Nachkommastelle, 2-2 für die zweite, usw. Für die ersten 4 Nachkommastellen ergeben sich daher: 1.Nachkommastelle 2.Nachkommastelle 3.Nachkommastelle 4.Nachkommastelle Der Wert des Nachkommateils beträgt somit für unser Beispiel: Ergibt zusammen (Vor- und Nachkommastellen) 9 + 0,1875 = 9,1875 Beispiel 2 (Umwandlung dezimal → binär): Die Umwandlung einer nicht ganzen Dezimalzahl in das Binärsystem kann auf folgende Weise erfolgen:
Beispiel: Die Dezimalzahl 25,7 soll in das Binärsystem umgewandelt werden. Für den ganzzahligen Anteil (25) liefert die fortlaufende Division durch 2:
Der Vorkommateil ergibt somit binär 11001 Der nichtganzzahlige Anteil (0,7) wird fortlaufend mit 2 multipliziert, der ganzzahlige Anteil des Produkts bildet die Binärziffer, mit dem nichtganzzahligen wird im nächsten Schritt weitergerechnet:
Der Nachkommateil ergibt somit 101100 ... Wie das Beispiel zeigt, können selbst einfach Dezimalbrüche auf endlose (periodische) Binärbrüche führen. Die Darstellung nicht ganzer Zahlen im Binärsystem ist daher nur in wenigen mit beschränkter Stellenanzahl exakt möglich. Gleitkommadarstellung reeller ZahlenWer die Festkommadarstellung wählt, muss man eine erhebliche Verschwendung von Speicherplatz in Kauf nehmen. Eine Zahl wie 2311456,3 z.B. benötigt viele Vorkomma-, aber wenig Nachkommastellen. Umgekehrt verhält es sich bei Zahlen wie 0,0023444536. Festkommadarstellung kann nicht flexibel darauf reagieren und lässt entweder auf der Vorkomma- oder der Nachkommaseite Stellen ungenützt. Damit wird auch der mögliche Wertebereich stark eingeschränkt. Aus diesen Gründen wurde mit der Gleitkommadarstellung („floating point representation“)1 eine Darstellung mit variabler Kommastelle (variablem Skalierungsfaktor) definiert, die aus Mantisse und Exponent besteht: Exponent Mantisse
z.B. 61,753 6,1753*101
Da mehrere gleichwertige Darstellungen möglich sind (für 61,753 z.B.: 61,753 · 100 oder 6,1753 · 101 oder 0,61753 · 102 oder 617,53 · 10-1, ...), wurde eine sog. „normalisierte“ Form als Standard festgelegt, die folgende Forderung stellt:
Allgemein formuliert gilt für eine normalisierte Mantisse m in einem Zahlensystem zur Basis b: 1 ≤ m < b. Die Position des Kommas wird allerdings nirgends gespeichert! Die gespeicherte Mantisse selbst enthält immer eine Ganzzahl. Natürlich muss die Recheneinheit, sobald sie mit dieser Zahl rechnen soll, wissen, wo das Komma zu setzen ist. Aber dessen Position ergibt sich ja aus dem Wert des Exponenten. Für unser Beispiel (61,753) bedeutet das: Exponent = 1, Mantisse = 61753 (ergibt 6,1753 · 101). Positiver Exponent bedeutet: das Komma muss nach rechts verschoben werden, negativer Exponent bedeutet: Komma muss nach links verschoben werden. Einige Beispiele für normalisierte Gleitkommazahlen:
Wie man sieht, liegt ein besonderer Vorteil der normalisierten Darstellung darin, dass führende Nullen nicht mitgespeichert werden müssen. Für Binärzahlen (Basis b = 2) ergibt die genannte Normalisierungsregel 1 ≤ m < 2, die Mantisse liegt also immer zwischen 1 und 2. Der heute gültige Standard sieht zwei Grundformate vor, die allgemein unterstützt werden. Beiden gemeinsam ist der dreiteilige Aufbau: das erste Bit enthält das Vorzeichen, danach folgt der Exponent, zuletzt die Mantisse: 1) Single precision (32 Bit)
23 Bit: Mantisse (Zählung beginnt links!) 8 Bit: Exponent
1 Bit: Vorzeichenbit der Mantisse Anmerkungen zur MantisseAuffällig das Fehlen des 1.Bits der Mantisse (das erste gespeicherte Bit ist nicht m0 sondern m1): da Binärziffern nur „0“ oder „1“ sein können, andererseits die Normalisierungsbedingung m0 ≠ 0 an der ersten Stelle die „0“ verbietet, bleibt dafür nur mehr „1“ übrig und braucht deshalb nicht explizit gespeichert zu werden (sog. „implizites erstes Bit“ oder „hidden bit“). Damit gewinnt man ein zusätzliches Bit für die Mantisse (und erhöht die Genauigkeit). Es stehen somit insgesamt 24 Bit (1 impliziertes und 23 explizit gespeicherte) für die Mantisse zur Verfügung. Natürlich kann die Mantisse (und damit die gesamte Gleitkommazahl) negativ sein. Das wird aber nicht in der Mantisse selbst, sondern durch das Vorzeichenbit (das erste Bit der gesamten Gleitkommazahl) angezeigt. Die gespeicherte Mantisse selbst ist daher immer positiv (und stellt den Nachkommateil der Mantisse (den Bruch = „fraction“, daher oft „f“ abgekürzt) dar. Anmerkungen zum ExponentDer Exponent umfasst 8 Bit und kann selbstverständlich ebenfalls negativ sein. Ein negativer Exponent wird jedoch nicht in 2er-Komplementdarstellung codiert, sondern in der „Exzess“-Darstellung (s.o.S.2), wobei die 0 zur negativen Seite gerechnet wird. Daher ist der niedrigstmögliche Wert -127, der höchste +128, folglich der Exzess = +127 (der Exzess wird im Zusammenhang mit Gleitkommazahlen auch „Bias“ genannt). Die beiden Grenzwerte sind allerdings für besondere Zwecke reserviert (s.u.), daher verbleiben emin = -126 und emax = +127. Bleibt noch die Frage, wie denn der Wert „0“ dargestellt wird. Denn aufgrund der Normalisierungsbedingung m0 ≠ 0 muss die erste Stelle der Mantisse immer „1“ sein und damit auch die gesamte Gleikommazahl immer ≠ 0 (egal, welchen Exponent e man wählt: 1∙ 2e ergibt niemals 0). Als Lösung sieht der Standard vor, dass eine Gleitkommazahl als „0“ zu interpretieren ist, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:
Sehen wir uns die Codierung der Gleitkommazahl „0“ näher an: da als Exzess des Exponenten +127 definiert ist, wird im Exponent gemäß oben genannter Bedingung emin-1 + 127 = 0 gespeichert. Da außerdem das erste Bit der Mantisse (= immer 1) nicht explizit gespeichert wird, bleibt auch für die Mantisse der Wert 0 übrig. Ergibt als Bitmuster der gesamten Gleitkommazahl lauter 0 (vorausgesetzt, das Vorzeichenbit2 ist ebenfalls 0). Maschinell ist dadurch eine sehr einfache und schnelle Überprüfung auf „größer/kleiner/gleich 0“ möglich. 2) Double precision (64 Bit)
11 Bit: Exponent
52 Bit: Mantisse (Zählung beginnt links!) 1 Bit: Vorzeichenbit der Mantisse Wegen des impliziten Bits stehen für die Mantisse tatsächlich 53 Bit zur Verfügung. Als Exzess ist +1023 festgelegt. Zusammenfassend die Merkmale der beiden Grundformate:
Neben diesen Grundformaten wurden noch sog. erweiterte Formate definiert, die aber nicht überall unterstützt werden. Praktische Bedeutung hat vor allem das 80-Bit Format „double extended“, weil die aktuellen CPUs jede Gleitkommazahl intern auf dieses Format erweitern, bevor sie damit rechnen (das fertige Ergebnis muss natürlich wieder auf das ursprüngliche Format reduziert werden). Beispiele zur Umrechnung von GleitkommazahlenWie Vor- und Nachkommateil einer Festkommazahl ins Dezimalsystem umgewandelt wird, ist bereits erklärt worden (s.0.S.5). Für Gleitkommazahlen ist zusätzlich die Verschiebung des Kommas zu beachten. Wir betrachten im Folgenden single-precision-Zahlen nach dem beschriebenen IEEE.754-Standard, d.h. Exponent in Exzessdarstellung (Exzess = 127) und Mantisse ohne impliziertes erstes Bit. 1) Umwandlung einer normalisierten Gleitkommazahl binär → dezimalBeispiel 1
Vorzeichen = 0, Exponent (Exzessdarstellung) = 10000001, Mantisse = 11 Der Exponent ergibt dezimal 129. Zieht man den Exzess 127 ab, bleibt 2 – die Mantisse musss folglich mit 22 multipliziert werden. Die Mantisse müssen wir für unsere Berechnung um das implizierte Bit erweitern, also 1112. Gemäß der Normalisierungsregel ergänzen wir das Komma hinter dem ersten Bit dieser um das implizierte Bit erweiterten Mantisse. Ergibt 1,112 ∙ 2210. 22 bedeutet, dass das Komma um 2 Stellen nach rechts verschoben werden muss: 1,112 ∙ 2210 = 111,02 = 7,010. Beispiel 2
Vorzeichen = 0, Exponent (Exzessdarstellung) = 10000001, Mantisse = 1101 Der Exponent ist mit dem des vorangegangenen Beispiels identisch, die Mantisse allerdings verfügt über mehr Stellen. Wir können daher diesmal als Ergebnis eine Zahl mit Kommastellen erwarten. Als Erstes das „hidden Bit“ ergänzen: 1101 11101 Als Zweites das Komma verschieben: 1,1101 ∙ 22 = 111,01 Wie für die Festkommadarstellung beschrieben, werden Vor- und Nachkommateil getrennt ins Dezimalsystem umgewandelt und anschließend addiert: 1112 = 910 0,012 = 0,2510 9 + 0,25 = 9,25 2) Umwandlung einer nicht normalisierten Gleitkommazahl dezimal → binär normalisiertBeispiel 1 - VorübungZur Umwandlung sind vier Schritte notwendig. Als Vorübung einige Zahlen, die wir ohne Taschenrechner umwandeln können, da es sich um Potenzen von 2 handelt:
a) Um den Exponent zu gewinnen, fragen wir, mit welcher Zahl die Basis „2“ potenziert werden muss, um die gegebene Dezimalzahl zu erhalten. Genau dafür gibt es den Logarithmus dualis4: x = ld(8) = 3,0 x = ld(0,125) = -3,0 x = ld(1) = 0
Beispiel 24,75 soll in eine binäre normalisierte Gleitkommazahl umgewandelt werden. Diesmal gibt es Nachkommastellen. a) ld(4) = 2,0. Exponent ist demnach 210 b) Mantisse (inkl. hidden Bit) ins Binärsystem übertragen: 410 = 1002; c) Da der Exponent „2“ lautet, ist das Komma um 2 Stellen zu verschieben: 1002 1,002; ergibt vorläufige Binärzahl ohne Berücksichtigung des Nachkommateils: 1,0 ∙ 22
0,7510 = 0,112 e) Nachkommateil hinter das Komma setzen: 100,11. Komma verschieben → ergibt 1,0011 ∙ 22 f) Exponent in Exzessdarstellung übertragen: 210 + 12710 = 12910 = 100000012 g) Erstes Bit der Mantisse verstecken und auf 23 Bit auffüllen: ergibt 00001100000000000000000
1 Für Computer 1985 festgelegt von der IEEE („Institute of Electrical and Electronics Engineers“ - „ai-triple-i“ ausgesprochen), einer Gesellschaft, die sich seit 1963 um weltweite elektrotechnische Standards kümmert. Details zu diesem Standard (IEEE.754) s. http://754r.ucbtest.org/standards/754.pdf 2 tatsächlich sind +0 und -0 möglich. Der Standard schreibt deshalb vor, dass für Vergleichsoperationen (und nur für diese!) +0 und -0 gleich zu behandeln sind (+0 = -0) 3 Um die Genauigkeit zu erhöhen, erlaubt der Standard denormalisierte Gleitkommazahlen im Bereich zwischen der größtmöglichen normalisierten negativen und der niedrigstmöglichen normalisierten positiven Gleitkommazahl 4 Mit dem Taschenrechner: log(Dezimalzahl) / log(2) Katalog: Fach Fach -> Steuer- und Codierschaltungen Fach -> Technische Übungen Bereich Fach -> Universität Konstanz Fach -> Freie Universität Berlin Fachbereich Wirtschaftswissenschaft Fach -> Auszug aus dem Verbandsmagazin „Gegenwart des Deutschen Blinden- und Sehbehindertenverbandes, Ausgabe Mai 2014 Download 106.64 Kb.
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||