Mahasiswa diharapkan

PENDAHULUAN

Mahasiswa diharapkan

1. 
   Memiliki kesadaran tentang manfaat yang diperoleh dalam mempelajari materi kuliah persamaan diferensial.
   
2. 
   Memahami konsep-konsep penting dalam persamaan differensial
   
3. 
   Memberikan contoh-contoh penerapan persamaan diferensial dalam berbagai bidang ilmu.
   

1. 
   Konsep Dasar
   
2. 
   PD Biasa dan Orde PD
   
3. 
   Selesaian PD
   
4. 
   Penerapan Persamaan Differensial
   

PENDAHULUAN

Dalam buku ini hanya akan dibahas tentang persamaan differensial biasa, yakni persamaan differensial yang hanya melibatkan satu variabel bebas saja. Pembicaraan juga dibatasi pada penggunaan metode-metode dasar untuk menentukan selesaian analitis dari persamaan-persamaan differensial linier. Untuk mempelajari materi ini cukup didasari dengan pemahaman tentang kalkulus differensial dan integral yang biasanya telah dipelajari pada tahun pertama di perguruan tinggi. Konsep-konsep tentang turunan dan integral dari fungsi satu variabel harus dipahami secara benar karena ke dua hal tersebut menjadi salah satu alat yang digunakan untuk menentukan selesaian analitis dari suatu persamaan differensial. Selain itu, pemahaman tentang perilaku suatu fungsi dapat membantu kita memahami sifat-sifat kualitatif dari suatu fenomena yang dimodelkan dalam bentuk persamaan differensial.

1. Konsep Dasar

Dalam menyelesaikan PD, kita berusaha menemukan fungsi yang tidak diketahui itu dengan menggunakan metode-metode tertentu. Pada kasus yang paling sederhana, biasanya penyelesaian itu bisa ditentukan dengan menggunakan kalkulus sederhana.

Jika suatu populasi dari organisme tertentu mengalami pertumbuhan dengan laju y’=dy/dx (x = waktu) yang sama dengan besarnya populasi pada saat itu, yaitu y(x), maka model populasi itu adalah

y’= y,

yang merupakan suatu contoh paling sederhana dari PD.

y = e^x (atau lebih umumnya y = ce^x)

mempunyai sifat

y’= y.

y(x) = e^x (atau lebih umumnya y = ce^x)

merupakan suatu selesaian dari model populasi tersebut.

Contoh 2:

Dalam fisika, jika suatu benda dijatuhkan dari ketinggian tertentu di atas permukaan bumi, maka percepatannya, yaitu

y” = d²y/dx²,

sama dengan percepatan gravitasi g (konstan).

Jadi model dari benda yang jatuh bebas adalah

y” = g

Dengan pengintegralan akan diperoleh kecepatan

y’ = dy/dx = gx v₀,

di mana v₀ menyatakan kecepatan awal.

Dengan pengintegralan sekali lagi akan diperoleh jarak yang ditempuh oleh benda yaitu

y = ½gx² v₀x y₀,

di mana y₀ menyatakan jarak awal dari titik 0.

1.2 PD Biasa dan Orde PD

Definisi 2: suatu PD yang hanya melibatkan satu atau beberapa turunan dari suatu fungsi tak tentu y terhadap x dan mungkin fungsi y sendiri, fungsi tertentu dari x, dan konstan-konstan disebut PD biasa.

Contoh 3:

1. 
   y’ = cosx,
   
2. 
   y” 4y = 0,
   
3. 
   x²y”’y’ 2e^xy”= (x² 2)y².
   

Sebagai contoh,

adalah suatu PD parsial karena melibatkan dua buah variabel bebas, yakni x dan y.

Dalam contoh-contoh di atas:

1. 
   berorde 1,
   

dan (iii) berorde 3.

Dalam PD, tugas kita adalah mencari (menentukan) selesaian suatu PD yang diberikan dan memeriksa sifat-sifatnya.

Periksalah bahwa

y = g(x) = x²

adalah suatu selesaian PD orde satu

xy’ = 2y, untuk semua x.

Penyelesaian.

Untuk memeriksa hal ini, g diturunkan dan diperoleh

g’ = 2x.

Selanjutnya g dan g’ dimasukkan dalam persamaan dan diperoleh suatu identitas

x(2x) = 2x²,

yang berlaku untuk semua x.

Seringkali suatu selesaian PD muncul dalam bentuk fungsi implisit

G(x,y) = 0.

Fungsi y terhadap x yang secara implisit diberikan oleh

x² y²-1 = 0 (y > 0),

adalah suatu selesaian implisit PD:

yy’ = -x

pada interval –1 < x < 1.

Untuk menunjukkan hal ini bisa dilakukan dengan menurunkan fungi implisit di atas dan memasukkannya dalam persamaan untuk memperoleh suatu identitas.

Contoh 6:

Selesaikan PD

y’ = cos x.

Penyelesaian.

Jika soal di atas kita selesaikan, maka akan diperoleh bahwa fungsi-fungsi

y = sinx,

y = sinx 1,

y = sinx 1,5, dan seterusnya,

semuanya merupakan selesaian dari PD. Ini menunjukkan bahwa suatu PD orde satu bisa (dan umumnya akan) mempunyai selesaian lebih dari satu. Dalam contoh di atas, semua fungsi berbentuk

y = sinx C, (C konstan sebarang)

merupakan selesaian dari PD di atas.

Di sini, fungsi

y = sinx C,

yang memuat konstan sebarang C, disebut selesaian umum, sementara itu fungsi-fungsi

y = sinx,

y = sinx 1, dan seterusnya,

masing-masing disebut selesaian khusus dari PD itu.

Kita bisa memeriksa bahwa fungsi

y = ce^x (c konstan)

memenuhi PD

y’ = y,

untuk semua x. Karena fungsi itu memuat konstant sebarang c, maka y merupakan suatu selesaian umum dari PD.

y

x

Sementara itu, selesaian khusus bisa diperoleh dengan memilih nilai c tertentu, misal

y = e^x,

y = 2e^x, dan

y = -1/2e^x, dan seterusnya

yang masing-masing dinyatakan oleh sebuah kurva.

Dalam beberapa hal, mungkin ada selesaian dari suatu persamaan yang tidak dapat diperoleh dengan memberikan nilai tertentu untuk konstannya dalam selesaian umumnya, sebagai contoh PD

y’² – xy’ y = 0

mempunyai selesaian umum

y = cx - c²,

yang menyatakan keluarga garis-garis lurus, dimana masing-masing garis lurus bersesuaian dengan nilai konstan c tertentu. Dengan substitusi kita juga bisa menunjukkan bahwa

y = x²/4

juga merupakan selesaian dari PD

y’² – xy’ y = 0.

Fungsi

y = x²/4

disebut selesaian singular dari

y’² – xy’ y = 0,

karena kita tidak dapat memperolehnya dengan cara memasukkan konstan tertentu ke dalam selesaian umumnya.

Kita bisa memeriksa bahwa masing-masing selesaian khusus merupakan garis singgung dari parabola yang dinyatakan oleh selesaian singular (lihat gambar di bawah).

Selesaian

singular

khusus

Gambar selesaian khusus dan selesaian singular PD y’² – xy’ y = 0.

Dalam praktek, selesaian singular jarang terjadi dalam masalah-masalah teknik. Nanti kita akan melihat bahwa PD linier tidak mempunyai selesaian singular.

Perlu dicatat juga bahwa tidak semua PD mempunyai selesaian. Sebagai contoh PD:

y’² = -1

tidak mempunyai selesaian real.

PD:

|y’| |y| = 0

y 0.

Beberapa contoh penerapan persamaan differensial yang lain dapat kita jumpai dalam pemodelan dari berbagai permasalahan nyata antara lain:

Suatu rangkaian listrik sederhana yang terdiri dari rangkaian seri tahanan (resistor) dan induktor yang diberikan gaya gerak listrik:

R

E

L

Gambar Rangkaian RL

Besar arus I yang mengalir dalam rangkaian RL diberikan oleh selesaian persamaan differensial :

LI’ RI = E

Sementara itu dalam suatu rangkaian RLC seperti berikut:

R

C E

Gambar Rangkaian RLC

Besar arus yang mengalir dalam rangkaian tersebut diberikan oleh selesaian persamaan differensial:

LI” RI’ I/C = E’.

Pergeseran suatu massa m yang diletakkan pada suatu pegas dengan konstanta pegas k diberikan oleh selesaian persamaan differensial:

my” ky = 0

(k)

y

m

Pergeseran suatu massa m yang diletakkan pada suatu pegas dengan konstanta pegas k yang bagian bawahnya dihubungkan dengan suatu jambangan, diberikan oleh selesaian persamaan differensial:

my” cy’ ky = 0

(k)

m y

(c)
Gambar Pegas massa teredam

Latihan 1

Tentukan ordenya dan periksa bahwa fungsi yang diberikan merupakan suatu selesaian

1. 
   y’ 8y = 0, y = ce^-8x
   
2. 
   y” 16y = 0, y = Acos 4x Bsin4x
   
3. 
   y’- ycosx = 0, y = csinx
   

4. y’ = x³

5. y’ = cos3x

6. y” = sin2x

Buatlah PD orde satu yang mempunyai selesaian

7. y = e ^{- 2x}

8. y = cosx

9. y = x⁴

Tentukanlah nilai c sehingga selesaian umum yang diberikan merupakan selesaian khusus yang memenuhi syarat seperti yang diberikan:

10. y’ y = 5, y = ce^-x 5, y = 4 jika x = 0

1. 
   satu
   

5. y =

7. y’ 2y = 0

9. xy’-4y = 0

PENDAHULUAN

• 
  Selesaian umum: memuat konstan
  
• 
  Selesaian khusus: diperoleh dari selesaian umum dengan mengganti konstan-konstannya dengan nilai tertentu
  
• 
  Selesaian singular: selesaian PD yang tidak dapat diperoleh dari selesaian umum dengan mengganti konstan-konstannya.
  

Gambar Rangkaian RL

Besar arus I yang mengalir dalam rangkaian RL diberikan oleh selesaian persamaan differensial :

LI’ RI = E

R

C E

Gambar Rangkaian RLC

Besar arus yang mengalir dalam rangkaian RLC diberikan oleh selesaian persamaan differensial:

LI” RI’ I/C = E’.

Pergeseran suatu massa m yang diletakkan pada suatu pegas dengan konstanta pegas k diberikan oleh selesaian persamaan differensial:

my” ky = 0

(k)

y

m

Pergeseran suatu massa m yang diletakkan pada suatu pegas dengan konstanta pegas k yang bagian bawahnya dihubungkan dengan suatu jambangan, diberikan oleh selesaian persamaan differensial: