|
Xos qiymat, xos vektorlar va o’xshashlik
|
| bet | 16/17 | | Sana | 24.01.2024 | | Hajmi | 280,99 Kb. | | #144439 |
Bog'liq BMI-Matritsa BUXDU2.4.Xos qiymat, xos vektorlar va o’xshashlik.
Biroq, cheksiz o’lchovli vektorli fazosida chiziqli transformatsiya uchun bironta ham xos qiymat yo’qligi oson topiladi.
Faraz qilaylik, kompleks sonlarning formal cheksiz kerakligining vektor fazosi bo’lsin. va da chiziqli transformatsiya quyidagi bilan aniqlanadi:
Bu transformatsiya ba’zan siljituvchi operator deb nomlanadi. ning chiziqli transformatsiya ekanligini tekshiring va xos qiymatiga ega emasligini ko’rsating. Ko’rsatma: xos vektori bo’ladigan vektor uchun uning hamma komponentlari o’shanday bo’lishi kerak. Lekin faqat ozod qiymat nol bo’lishi talab qilinadi. Tanlangan vektor nol vektor bo’lishi kerak, qaysiki xos vektor bo’lishi mumkin emas.
8. matritsa ermit deb ataladi, agar bo’lsa. Agar ermit bo’lsa, ning hamma xos qiymatlari haqiqiy bo’lishini ko’rsating. Ko’rsatma: faraz qilaylik ixtiyoriy bo’lsin va x xos vektor bo’lsin. U holda (2.3.1) dan bo’lishi kelib chiqadi.
Lekin bo’ladi, chunki haqiqiydir.
ning musbatligidan, ning musbatligi kelib chiqadi.
Xarakteristik ko‘phad.
ning xos qiymatlari to’g’risida tabiiy savollar tug’iladi: ular qancha va ular qanday xarakterlanishi mumkin? Xos qiymat-xos vektor tenglamasi (2.3.1) ga ekvivalent ravishda quyidagicha yoziladi:
( (2.4.1)
Demak, bo’lishi uchun singulyar matritsa bo’lishi zarur va yetarli, ya’ni det( =0 (2.4.2)
Ta’rif. da ning xarakteristik ko’phadi quyidagicha aniqlanadi:
Eslatma : biz xarakteristik ko’phadda ni formal o’zgaruvchi sifatida dan olingan asosiy xos qiymat yoki ko’phadning noli yana shu tarzda bu belgi ba’zan ikkovi ham ishlatiladi.
Mulohaza. Agar bo’lsa, ) xarakteristik ko’phad darajaga ega va ning ildizlari to’plami bilan ustma-ust tushadi.
Isbot : ( ko’phad darajaga ega minorlari orqali Laplasning kengaytmasidan induktiv ravishda kelib chiqadi: ning o’sha qatori faqatgina t ning quvvatiga yordam beradi. Determinantning kengaytmasi sifatida ikkinchi shart (2.3.1) va (2.4.2) larga ekvivalentdir.
Mashq. determinantning ildizlari o’sha ning ildizlari va bilan bir xil bo’lishini ko’rsating. Shu tarzda xarakteristik ko’phad alternativ ravishda kabi aniqlanishi mumkin. Tanlangan qiymatni (asosiy) ning koeffitsiyenti doimo bo’lishini ko’rsating.
Mashq . Agar bo’lsa u holda
va
bo’lishini ko’rsating.
Agar bo’lsa, ning xos qiymatlari agar bc 0 bo’lganda haqiqiy bo’lishini ko’rsating.
Shunga ko’ra ular haqiqiy bo’ladi faqat va faqat bo’lsa.
Agar ular haqiqiy bo’lmasa, ular o’zaro kompleks qo’shma bo’ladi. Natijada xos qiymatlar agar bo’lsa turlicha bo’ladi. Asosiy muhim jarayonda matritsaning xos qiymatlari osongina topiladi.
Ko’pincha tez-tez bu jarayon matritsaning shaklidan bog’liq holda osongina determinant hisoblanadi. Bularga dioganal, burchak va bir qancha maxsus hollar kiradi.
Mashq . Agar burchakli matritsa bo’lsa,
U holda , ning dioganal elementlari .
Mashq . har bir elementi ga teng:
ning xos qiymatlari nima bo’ladi? 0( 2 marta sodir bo’lsa) va 3 ning xos qiymatlari ekanligini ko’rsating. Umumiy holda n uchun uning analogini ko’rsating? Ko’rsatma: e vektorni quyidagicha ekanligini e’tiborga oling
Xos qiymat, xos vektor va o‘xshashlik.
Mashq . Matritsaning hamma xos qiymatlarini va har biriga mos xos vektorlarini aniqlang.
Ko’rsatma: oldingi mashqdan foydalaning va deb yozing.
Ta’rif. ning bilan prinsipial qism matritsa o’sha to’plamning qatori va ustunida yotadi va bilan prinsipial minor shunday prinsipial qism matritsaning determinantidir.
Bu yerda turli va prinsipial minor matritsaning va ularning yig’indilari orqali belgilanadi. Boshqacha aytganda
ning izi deb ataladi va odatda yoki kabi belgilanadi. Eslatamizki
Mashq . Agar bo’lsa
bo’lishini ko’rsating.
Fundamental va nol bo’lmagan fakt shuki algebraning asosiy teoremasi deb ataladi. Ko’phad darajali bo’lsa u kompleks koeffitsiyentlari bilan ko’pi bilan ta nollarga ega.
Hisoblashlarni bajarib (kompleks sonlar ustida ). Mana shu fikrga ko’ra quyidagi mulohazani olishimiz mumkin.
Mulohaza.
matritsa kompleks sonlar o’rtasida hisoblashlarni bajarib faqatgina ta xos qiymatga ega.
Izoh : Shu o’rinda xos qiymatlarini ko’paytirish deganda biz oddiygina xarakteristik ko’phadning ning nol bo’lish vaqtlarini sonini tushunamiz.
Ko’pgina xos qiymatlarini ko’paytirish munozaralari (1.4) bo’limda keladi. Lekin ularning orasidagi bog’liqlikni bilish foydali ko’phad ko’paytmaning noliga ga ega bo’ladi faqat va faqat ni quyidagi shaklda yozish mumkin:
, bu yerda shunday ko’phadki .
Xulosa:
Ushbu bobda 2x2 sonli matritsaning xos qiymatlari haqidagi teorema, lemma va xossalar isbotlangan.
Bitiruv malakaviy ishida juda ko’p maqolalar va kitoblardan foydalanilgan. Oliy o’quv yurtlarining matematika ta’lim yo’nalishidagi ta’lim olayotgan talabalarga uslubiy qo’llanma sifatida foydalansa bo’ladi.
XOTIMA.
Bitiruv malakaviy ishida matritsalar, determinantlar, qo’shma operatorlar, kompleks sonlar nazariyasi va xos qiymat haqidagi teorema va lemmalar isboti hamda ma’lumotlar to’liq berilgan.
Bitiruv malakaviy ishining I bobi birinchi qismida mavzuni yoritish uchun kerak bo’ladigan asosiy tushunchalar kiritilgan. Ikkinchi qismida determinant va uning xossalari keltirilgan. Uchinchi qismida esa qo’shma operatorlar haqidagi ta’rif va teoremalar keltirilgan.
To’rtinchi qismda kompleks sonlar ta’rifi va ba’zi xossalari berilgan.
Bitiruv malakaviy ishining II bobida matritsaning xos qiymatlari, asosiy lemmalar, xos qiymat, xos vektor va o’xshashlik haqida ma’lumot va isbotlar berilgan.
|
| |
