«Materialshunoslik va aniq fanlar» kafedrasi Bakalavriatning Iqtisodiyot ta’lim yo‘nalishi sirtqi ta’lim shakli I kurs talabalari uchun

Download 227 Kb.
bet	1/9
Sana	18.02.2024
Hajmi	227 Kb.
	#158505

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Bog'liq
topshiriq. Shaxnoza 15-23

MUSTAQIL ISHI Qo’qon 2024 Reja: Funksiyaning monotonligi, kritik va ekstremum nuqtalari.
Funksiyani to‘la tekshirish. Funksiyaning monotonligi, kritik va ekstremum nuqtalari

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
TOSHKENT DAVLAT TEXNIKA UNIVERSITETINING QO‘QON FILIALI

Muhandislik texnologiyalari fakulteti
«Materialshunoslik va aniq fanlar» kafedrasi
Bakalavriatning Iqtisodiyot ta’lim yo‘nalishi
sirtqi ta’lim shakli I kurs talabalari uchun
«Amaliy matematika» fanidan
15.23 – guruh talabasi
Isomitdinova Shaxnozaxon Sobirovnaning
“Funksiyaning monotonligi, kritik va ekstremum nuqtalari. Funksiya grafigining botiqligi va qavariqligi, burilish nuqtalari, asimtotalari. Funksiyani to‘la tekshirish” mavzusidagi

MUSTAQIL ISHI
Qo’qon 2024

Reja:

Funksiyaning monotonligi, kritik va ekstremum nuqtalari.
Funksiyani to‘la tekshirish va grafigini yasash.
Funksiya grafigining botiqligi va qavariqligi, burilish nuqtalari, asimtotalari.
Funksiyani to‘la tekshirish.

Funksiyaning monotonligi, kritik va ekstremum nuqtalari
Monoton funksiyalar sinfi matematikadagi tushunchadir. Funktsiyaning monotonik bo'lishi mustaqil o'zgaruvchi (odatda x) ortishi yoki kamayishi bilan funksiya qiymatining doimiy ravishda ortib borishi yoki kamayib borishini anglatadi.
Monotonik funktsiyalar odatda uch xil toifada ko'rib chiqiladi:
1. Monotonik funktsiyalarni oshirish: Bu turdagi funktsiyalar mustaqil o'zgaruvchining ortishi bilan funktsiya qiymatining oshishini anglatadi. Masalan, f(x) = x^2 yoki f(x) = 3x + 2 kabi funksiyalar monoton funksiyalarni oshirmoqda.
2. Monotonik funksiyalarning kamayishi: Bu turdagi funksiyalar mustaqil o‘zgaruvchining ortishi bilan funksiya qiymatining kamayishini bildiradi. Masalan, f(x) = -x yoki f(x) = 5 - x kabi funksiyalar monoton funksiyalarni kamaytirmoqda.
3. Doimiy monoton funksiyalar: bu turdagi funksiyalar mustaqil o‘zgaruvchidan qat’iy nazar funksiya qiymatining doimiy bo‘lishini bildiradi. Masalan, f(x) = 3 yoki f(x) = -4 kabi funksiyalar doimiy monoton funksiyalardir.
Bu tasnif funksiyalarning umumiy harakatini aniqlash va ularning grafiklarini tahlil qilish uchun ishlatiladi. Monotonik funksiyalar matematik modellashtirish, optimallashtirish yoki differentsial hisob-kitoblarda keng qo‘llaniladi. Python kabi dasturlash tilida siz matematik ifodalarni yozish va monoton funktsiyalarni hisoblash yoki tahlil qilish uchun ularning grafiklarini chizish uchun funksiya va grafik kutubxonalaridan foydalanishingiz mumkin.
Monoton funksiyalar sinfi, bir funksiyaning artib bo'lish yoki kamayish tartibida o'zgaradigan xossalarga ta'sir qilganligini anglatadi. Bu sinfning ikkita turi mavjud: o'sib chiqish (artib ketuvchi) va kamayish (kamayuvchi).
O'sib chiqish (artib ketuvchi) monotoniya funksiyalar, x kattalashishga qaramay, o'sib chiqish jarayonini namoyon etadilar. Boshqa so'z bilan aytganda, agar funksiyadagi har bir a, b sonlari (a < b) uchun a < b bo'lsin, unda f(a) < f (b) bo'lishi kerak. Misol uchun, f(x) = x^2 funksiyasi o'sib chiqish monotoniya funksiyasiga misol bo'ladi, chunki agar a < b bo'lsa, u holda a^2 < b^2 bo'lishi kerak.
Kamayish (kamayuvchi) monotoniya funksiyalarda esa mantiqiy har bir a, b sonlariga (a < b) uchun a < b qoidalari tegishli bo'ladi, yani f(a) > f(b) bo'lishi kerak. Misol uchun, f(x) = -x funksiyasi kamayish monotoniya funksiyasi misoliga tomosha qiladi, chunki agar a < b bo'lsa, u holda -a > -b bo'lishi kerak.
Monoton funksiyalar, ba'zi matematik funksiyalarining artib ketish yoki azalish tartibida davom etishini anglatadi. Bu funksiya, berilgan bir boshqa funksiya uchun bajarilgan bajarishga qarab, xil xossalar bilan aks etishi mumkin. Uchta turgan:
1. Barcha qiymatlariga ko'ra oshayotgan monoton funksiya - Agar barcha x qiymatlarga mos keladigan funksiya uchun f(x1) <= f(x2) bo'lsa, bu funksiya oshayotgan (monoton oshadigan) deb ataladi.
2. Barcha qiymatlariga ko'ra kamayotgan monoton funksiya - Agar barcha x qiymatlarga mos keladigan funksiya uchun f(x1) >= f(x2) bo'lsa, bu funksiya kamayotgan (monoton kamayadigan) deb ataladi.
3. To'g'ri chiziqda tugagan funksiya - Agar funksiya uchun har bir x qiymati uchun f(x1) < f(x2) yoki f(x1) > f(x2) bo'lsa, bu funksiya to'g'ri chiziqda tugagan (monoton chiziqda tugagan) deb ataladi.
Bu usullar orqali, bir funksiyani monotonligini aniqlash mumkin.
MONOTON FUNKSIYALAR;
Aytaylik, Y=f(x) funksiya X to’plamda berilgan bo’lsin
TA’RIF: agar X to’plam olingan ixtiyoriy x1 va x2 lar uchun x1f (x1) va (x2) (yoki f (x1) >f(x2)) tengsizlik kelib chiqsa , u holda funksiya X to’plamdan o’suvchi yoki kamayuvchi deb ataladi.
TA’RIF
•Agar X to‘plamda olingan ixtiyoriy x 1va x 2 lar uchun x 1<="" p="">
chiqsa, u holda f(x) funksiya X to‘plamda kamaymaydigan (yoki o‘smaydigan) deyiladi.
• O’suvchi, kamaymaydigan, o‘smaydigan funksiyalar, bitta umumiy nom bilan monoton funksiyalar deyiladi.
Demak, monoton funksiya deganda, shu to‘rt xil funksiyadan
biri tushuniladi.
• Misol. у=2 x+1 funksiya (- ; + ) da o‘suvchi, chunki x 10 • bo‘ladi va f(x1)<="" p="">
• Misol. у=-x3 funksiya (- ; + ) da kamayuvchi.
•Haqiqatan, agar x 1 (x 2)2)<0 • bo‘ladi va f(x 1)>f(x 2) tengsizlik kelib chiqadi.
Klasterlar Grafigi Kordinata boshiga nisbatan simetrik Funksiya davriy funksiya Funksiya toq Unga teskari funsiya Y=arcctg x Qiymatlar sohasi R ga teng Y=ctgx Aniqlanish sohasi (-∞; + ∞)πk Funksiya ga teskari funksiya mavjud.
Misol.

f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 funksiyaning ekstremal qismini toping.
y  x²  2x 1 funksiyaning monotonlik oraliqlari topilsin.
y  x³ funksiyaning monotonlik oraliqlari topilsin.
y  x(x 1²) funksiya ekstremumga tekshirilsin.
V=16p ≈ 50 m 3 hajmli yopiq silindrsimon rezervuar yasash talab qilinadi. Uni ishlab chiqarish uchun eng kam miqdordagi materialdan foydalanish uchun tankning o'lchamlari (radiusi R va balandligi H) qanday bo'lishi kerak?
Tosh devor yaqinida to'rtburchaklar maydonni qurish kerak, shunda u uch tomondan simli to'r bilan o'ralgan va to'rtinchi tomondan devorga tutashgan. Buning uchun bor a tarmoqning chiziqli metrlari. Qaysi nisbatda sayt eng katta maydonga ega bo'ladi?

FUNKSIYALAR
Funksiya, bir niyata qilish uchun birlamchi qatorlar to'plamidir.
Bu qatorlarda biror amallarni bajarish uchun ma'lumotlar qabul qilinadi va natija qaytariladi. Bu ma'lumotlar funksiya argumentlari deb nomlanadi.
Diskret matematikada funktsiya - bu bir to'plamdagi istalgan elementni boshqa to'plamga ko'rsatadigan munosabat. Birinchi to'plam kirish to'plami, ikkinchi to'plam esa chiqish to'plami deb ataladi. Har bir kirish elementi faqat bitta chiqish bilan bog'langan. Diskret matematikada funktsiyalar ko'pincha belgilarda ifodalanadi, odatda f (x) sifatida belgilanadi, bu erda f belgisi funktsiyani va x kirishni ifodalaydi. Masalan, f(x) = 2x + 3 funksiya x ning har bir qiymati uchun o'ziga xos chiqish qiymatini beradi.
Albatta, men funktsiyalarga misollar keltira olaman. Mana bir nechta misollar:
1. F(x) = x^2 - 5x + 6 funksiyasi x qiymatlarini kvadratga aylantiradi, 5x ga ko'paytiradi va 6 ni ayiradi.
2. F(x) = 2x + 1 funktsiyasi x qiymatlarini 2 ga ko'paytiradi va 1 ni qo'shadi.
3. F(x) = |x| Funktsiya x ning mutlaq qiymatini oladi. Ijobiy x qiymati uchun chiqish x, manfiy x qiymati uchun esa -x bo'ladi.
4. F(x) = sin(x) funksiyasi x qiymatlarning sinusini oladi.
Bu faqat bir nechta misollar. Funktsiyalar matematikada turli yo'llar bilan ifodalanishi va turli matematik operatsiyalar bilan boshqarilishi mumkin.
Albatta! Funktsiyalarga ba'zi misollar:
1. Chiziqli funksiya: f(x) = 2x + 3
Bu funksiya kiritishni ikki barobar oshiradi va x ning istalgan qiymati uchun 3 ni qo'shadi.
2. Kvadrat funksiya: f(x) = x^2
Bu funksiya x ning istalgan qiymati uchun kirish kvadratini chiqaradi.
3. Mutlaq qiymat funksiyasi: f(x) = |x|
Bu funksiya kirishning mutlaq qiymatini chiqaradi. Salbiy kirishlar uchun mutlaq qiymat operatsiyasi qo'llaniladi.
4. Trigonometrik funksiya: f(x) = sin(x) Bu funksiya burchakning sinusini hisoblaydi. x radian sifatida ifodalanadi.
5. Bo'laklar bo'yicha funksiya: f(x) =2x + 3, x < 0x^2, x ≥ 0 Bu funksiya x manfiy bo'lganda 2x + 3 va x musbat yoki teng bo'lganda x^2 chiqaradi.
Bu faqat bir nechta misollar va funktsiyalarni turli yo'llar bilan tasvirlash mumkin.
Monotonik funktsiyalar - bu o'zgaruvchining ortishi yoki kamayishi bilan o'zgargan funktsiyalari. Matematik jihatdan, agar x va y haqiqiy sonlar bilan ifodalangan bo'lsa, f(x) funksiya monoton ravishda ortib boradi, agar x1 < x2 bo'lsa, f(x1) <= f(x2). Agar u monoton kamayuvchi bo'lsa, x1 < x2 bo'lsa, f(x1) >= f(x2).
Monotonik o'sish funktsiyasi - bu har qanday ikkita nuqta o'rtasida qiymatlari tobora o'zgarib turadigan funktsiya. Masalan, y=2x+3 funksiya monoton ortib bormoqda, chunki x qiymati oshgani sayin y qiymati ham ortadi. Monoton kamayuvchi funktsiya - bu har qanday ikkita nuqta o'rtasida qiymatlari kamayib boruvchi o'zgaruvchan funktsiya. Masalan, y=-x^2 funksiya monoton kamayib boradi, chunki x ning qiymati oshgani sayin y ning qiymati kamayadi. Funktsiyaning monotonligi, matematik tahlil va optimallashtirish muammolari kabi ko'plab sohalarda ilovalar mavjud. Bundan tashqari, monotonik funktsiyalar ham differentsial funksiyalar hisoblanadi.
Albatta, bu yerda monoton funktsiyalarga bir nechta misollar:

Monotonik oshirish funktsiyasi:

f(x) = 2x + 3
Bu funksiya x qiymati oshgani sayin monoton ortib boruvchi funksiya hisoblanadi, ya’ni agar x1 < x2, f(x1) <= f(x2).
2. Monotonik kamayuvchi funksiya:
f(x) = -x^2Bu funksiya x qiymati ortganda monoton kamayuvchi funktsiyadir, ya'ni x1 < x2 bo'lsa, f(x1) >= f(x2).
3. Monotonik ortish va monoton kamayish funksiyasi: f(x) = x + 1, x <= 0
2x, x > 0
Bu funktsiya x ≤ 0 bo'lganda monoton ravishda ortib boradi va x > 0 bo'lganda monoton ravishda kamayadi. Ya'ni, monotonlik xususiyatlari ikkita alohida mintaqada o'zgaradi.
Bu misollarni monoton funksiyalarga misol qilib keltirish mumkin. Biroq, monotonlik xususiyatlari ma'lum bir oraliqda yoki ma'lum bir domen ichida o'zgarishi mumkin. Shuning uchun ko'proq misollar keltirish va monotonlik tushunchasini turli yo'llar bilan qo'llash mumkin.
Monotonik funktsiyalar - bu o'zgaruvchining ortishi yoki kamayishi bilan o'zgargan funktsiyalari. Matematik nuqtai nazardan, funktsiyaning monoton ravishda ortib borishi yoki kamayishi kirish qiymatlari o'rtasida ma'lum bir bog'liqlik mavjudligini ko'rsatadi.
Monotonik o'sish funktsiyasi - bu har qanday ikkita nuqta o'rtasida qiymatlari tobora o'zgarib turadigan funktsiya. Ya'ni, x1 < x2 bo'lganda, f(x1) <= f(x2). Misol tariqasida y = 2x + 3 funksiyasini berishimiz mumkin. Bu funksiyada x qiymati ortishi bilan y qiymati ham ortadi.
Monoton kamayuvchi funktsiya - bu har qanday ikkita nuqta o'rtasida qiymatlari kamayib boruvchi o'zgaruvchan funktsiya. Ya'ni, x1 < x2 bo'lganda, f(x1) >= f(x2). Misol tariqasida y = -x^2 funksiyasini berishimiz mumkin. Bu funksiyada x qiymati ortishi bilan y qiymati kamayadi.
Bundan tashqari, monotonik funktsiya har ikki yo'nalishda ham monoton bo'lishi mumkin. Bunday holda, funktsiya ma'lum bir mintaqada monoton ravishda oshishi mumkin, keyin ma'lum bir nuqtadan keyin monoton ravishda kamayishi yoki aksincha.
Monotonik funktsiyalar matematik tahlil, optimallashtirish masalalari, saralash va o'zgartirish operatsiyalari va boshqa ko'plab sohalarda qo'llaniladi. Xususan, ular differensiallanuvchi funksiyalar hisoblanadi va ularning differentsialligi tufayli turli xil tahlil usullaridan foydalanish mumkin. Monotonlik tushunchasi matematik modellashtirish, iqtisodiyot, statistika, fizika va muhandislik kabi sohalarda ham muhim rol o'ynaydi.
Monotonik funktsiyalar mustaqil o'zgaruvchining ortishi yoki kamayishi bilan funktsiya qiymatining doimiy ravishda ortib borishini yoki kamayishini anglatadi. Bu uning funktsiyasining yo'nalishi yoki tendentsiyasini belgilaydigan xususiyatdir.
Matematikada monoton funksiyalar odatda uchta usulda tasniflanadi:
1. Monotonik funktsiyalarni oshirish: Mustaqil o'zgaruvchining ortishi bilan funktsiyaning qiymati ham ortadi. Ya'ni, x1 < x2 bo'lganda, f(x1) < f(x2) munosabati bajariladi. Masalan, f(x) = x^2 yoki f(x) = e^x kabi funksiyalar monoton funksiyalarni oshirmoqda.
2. Monotonik funktsiyalarni kamaytirish: Mustaqil o'zgaruvchining ortishi bilan funktsiyaning qiymati kamayadi. Ya'ni, x1 < x2 bo'lganda f(x1) > f(x2) munosabati o'rinli bo'ladi. Masalan, f(x) = -x^2 yoki f(x) = e^(-x) kabi funksiyalar monoton funksiyalarni kamaytirmoqda.
3. Doimiy monoton funksiyalar: funktsiya qiymati mustaqil o'zgaruvchiga qarab o'zgarmaydi. Ya'ni, x1 < x2 bo'lganda, f(x1) = f(x2) munosabati bajariladi. Masalan, f(x) = 2 yoki f(x) = -3 kabi funksiyalar doimiy monoton funksiyalardir.
Monotonik funktsiyalar matematik tahlil, optimallashtirish va differentsial hisoblash kabi ko'plab sohalarda qo'llaniladi. Ular, shuningdek, grafiklarni chizish va ma'lumotlar tendentsiyasini o'rganish kabi vizual tahlil uchun ishlatiladi.
Umid qilamanki, bu ma'lumot monoton funktsiyalarning batafsil ko'rinishini taqdim etdi.
Monotonik funktsiyalar odatda uch xil toifada ko'rib chiqiladi:
1. Monotonik funktsiyalarni oshirish: Bu turdagi funktsiyalar mustaqil o'zgaruvchining ortishi bilan funktsiya qiymatining oshishini anglatadi. Ya'ni, x1 < x2 bo'lganda, f(x1) < f(x2) munosabati bajariladi. Masalan, f(x) = x^2 yoki f(x) = e^x kabi funksiyalar monoton funksiyalarni oshirmoqda.
2. Monotonik funksiyalarning kamayishi: Bu turdagi funksiyalar mustaqil o‘zgaruvchining ortishi bilan funksiya qiymatining kamayishini bildiradi. Ya'ni, x1 < x2 bo'lganda f(x1) > f(x2) munosabati o'rinli bo'ladi. Masalan, f(x) = -x^2 yoki f(x) = e^(-x) kabi funksiyalar monoton funksiyalarni kamaytirmoqda.
3. Sof monoton funksiyalar: Bu turdagi funksiyalar o‘zgaruvchan yoki kamayuvchi bo‘lmagan funksiyalardir. Ya'ni, x1 < x2 bo'lganda f(x1) ≤ f(x2) yoki f(x1) ≥ f(x2) munosabatlari o'rinli bo'ladi. Masalan, f(x) = x^2 yoki f(x) = -x^2 kabi funksiyalar sof monoton funksiyalardir.
Bu tasnif funksiyalarning umumiy harakatini aniqlash va ularning grafiklarini tahlil qilish uchun ishlatiladi. Monotonik funksiyalar matematik modellashtirish, optimallashtirish yoki differentsial hisob-kitoblarda keng qo‘llaniladi.
Bundan tashqari, funksiya ham ortib, ham kamayishi mumkin. Bunday funktsiyalar "qat'iy monotonik" funktsiyalar deb ataladi. Masalan, f(x) = x yoki f(x) = x^3 kabi funksiyalar ma'lum oraliqlarda ortib, boshqa oraliqlarda kamayadi.

Download 227 Kb.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Download 227 Kb.