Misal. Tənliyi sabitlərin variyasiyası metodunun köməyi ilə həll edin:
yꞌꞌ + yꞌ =  . Tənliyin sağ tərəfi kəsr-rasional ifadə oduğundan Laqramj üsulundan istifadə edilmıəsi məsləhətdidir:
I addım. Tənliyin xarakteristik tənliyini tərtib edək və onun xətti əsılı olmayan xüsusi həllərini tapaq:
k2 + k = 0, k1 = 0, k2 = 1.
Onda uyğun olaraq xüsusi həllər:
y1 = 1, y2 = e-x .
II addım. Aꞌ(x) və Bꞌ(x) funksiyalarına görə sistem tərtib edək və onun əsas determinantını hesablayaq:
ω =  =  =  .
III addım.  üçün alırıq:
=  =  =
İndi isə A(x) funksiyasını tapaq:
A(x) =  + C1 .
Bu inteqralı ex = t; x = ln t; dx = d(ln t) =  dt əvəzləmənin köməyi ilə qeyri-məlum əmsallar üsulu ilə həll edirik:
A(x) =  + C1 =  1.
Bunun üçün D və P əmsallarına görə sistem tərtib edirik və həmin sistemindən D=1 və P=-1 alaraq:
A(x) = ln(ex) – ln(ex+1) + C1 = x - ln(ex+1) + C1. (1)
IV addım.  alırıq:
=  =  · =  .
Indi isə  funksiyasını tapaq:
=  + C2 .
Bu inteqralı e -x= t; -x = ln t; dx = d(-ln t) = - dt əvəzləmənin köməyi ilə qeyri-məlum əmsallar üsulu ilə həll edirik:
=  + C2 (2)
V addım. Nəhayət tənliyin ümumi həllini tərtib edək:
Yümumi = (x - ln(ex+1) + C1) +  · ( + C2) = sadələşdiriləndən sonra = x + C1 + C2 · – ln(ex+1) ·  .
4. Xətti bircins sabit əmsallı diferensial tənliklər sistemi.
Belə tənliklər sisteminin ümumi şəklini aşağıdakı kimi verə bilərik:
 =  , i =  (1)
Burada  – sabit ədədlər,  – məchul funksiyalardır. Bu tənliklər sisteminin həlli elə
x1 = φ1(t), x2 = φ2(t), ..., xn = φn(t) (2)
funksiyalar külliyatına deyilir ki, onları sistemə yazdıqda sistemin hər tənliyi verilmiş intervalda eynilitə çevrilsin.
Həlli üçün başlanğıc şərtləri verilərsə məsələyə sistemin Koşi məsələsi deyilir. Koşi məsələsinin köməyi ilə biz n-sayda ixtiyari c1, c2,...,cn sabitlərinin xüsusi qiymətləri tapılır.
(1) sisteminin həlli üçün bir çox metodlar mövcuddur. Onlardan biri verilmış tənliklər sistemini n-tərtibli bir xətti diferensial tənliyə qətirilməsi üsuludur. Həmin üsula aid n = 2 sayda tənliklər sisteminə baxaq:
 = x – 2y
 = x + 3y (1)
Sisteminin ikinci tənliyini t-yə nəzərən diferensiallayaq və birinci tənliyi nəzərə alaq.
 = + 3 = x – 2y + 3
İkinci tənlikdən x = – 3y (2) tapıb, burada yerinə yazaq
= – 3y – 2y +3
və ya
= 4 + 5y = 0
n = 2 tərtibli sabit əmsallı bircins tənlik alındı. Bu tənliyi həll edək:
r2 – 4r + 5 = 0, r1,2 = 2 i
Məlumdur ki, xarakteristik tənliyin kökləri  olduqda bu köklərə uyğun xüsusi həllər y1 =  cos , y2 =  şəklində olur. Bizim baxdığımız misalda  olduğundan
y1 =  , y1 = 
və ümumi həll
y = (c1cost + c2sint)
olar. y-ın bu qiymətini (2)-dən yazmaqla
x = – 3y = (-c1sint + c2 cost - c1cost - c2sint)
və ya
x = [(c2-c1)cost – (c1+c2)sint].
Beləliklə, verilmiş (1) sisteminin ümumi həlli
x(t) = (c2-c1)cost - (c1+c2)sint
y(t) = (c1 cost + c2 sint) (3)
düsturları ilə təyin olunmuş olur.
Mövzu 33
| 