Tərif. Tutaq ki boş olmayan A və B çoxluqları verilmişdir. A-çoxluğunun B-çoxluğuna daxil olmayan bütün elementlərindən düzəlmiş çoxluğa A və Bçocluqların fərqi deyilir və A\B kimi işarə olunur. Qeyd edək ki, ümumiyyətlə A\B və B\A əməllərinin nəticəsi kimi biz iki fərqli çoxluqlaq alırıq. Beləki həmin çoxluqlar həm elementlərinin sayına həm də elementlərinin təbiətinə görə fərqli
alınır. İki çoxluğun fərqi riyazi dildə A\B =  kimi yazılır.
 .
Misallardan aydındır ki, çoxluqların fərqi əməllərinin nəticəsi həqiqətəndə fərqli çoxluqlara gətirib çıxarır. Qeyd edək ki, çoxluqların üzərində aparılan birləşmə, kəsişmə və çoxluqların fərqli əməllərini bir-birinə bağlayan 2 qanun mövcuddur:
1) 
2) 
4. Alt çoxluğun tamamlayıcısı.
Tərif. Tutaq ki, A və B çoxluqları arasında BA münasibəti mövcuddur. Belə olan halda B alt çoxluğuna daxil olmayan bütün elementlərindən tərtib olunmuş yeni çoxluğa B-nın A-ya qədər tamamlayıcısı deyilir,  kimi işarə olunur. Bu anlayışın mənasına görə A-nın elə bir elementi tapılmaz ki, həmin element eyni zamanda həm B çoxluğuna həm də  çoxluğuna daxildir. Buna görə də B ilə onun tamamlayıcısı olan çoxluğun birləşməsi A çoxluğu ilə üst-üstə düşməlidi. Riyazi dildə çoxluğun tamamlayıcısını aşağıdakı kimi göstərə bilərik:
5. Eyler-Venn diaqramları.
Çoxluqların arasında mövcud olan birləşmə, kəsişmə çoxluqların fərqi kimi məntiqi münasibətləri əyani şəkildə də təsvir etmək mümkündür. Bunun üçün baxılan çoxluqları sadəcə müxtəlif adlar şəklində göstəririk və çoxluqlara daxil olan elementləri həmin dairələr içərisində qeyd edirik. Həmin dairələrdən ilk dəfə biri digərindən xəbərsiz Rusiya riyaziyyatçısı Leonard Eyler və inglis alimi Con Venn istifadə etdiyinə görə həmin dairələri Eyler-Venn diaqramları adlandırmışlar. Deməli, hər bir məntiqi əməl üçün həmin diaqramlar aşağıdakı kimi göstərilə bilər.
1) Birləşmə 
2) Kəsişmə 
3) Fərq 
4) 
6. Kartej anlayışı.
Kartej sözü fransız sözüdür və onun hərfi mənası “təntənəli mərasim” deməkdir. Riyaziyyatda bir çox hallarda elə növ çoxluqlarla və ya toplu ilə işləyirik ki, onların elementləri ixtiyari yox tələb olunan müəyyən qayda ilə düzəlməlidir. Bu kimi çoxluqlara riyaziyyatda xüsusi ad verilir.
Tərif 1. Müəyyən qaydayla düzəlmiş ixtiyari təbiyətli elementlər çoxluğuna riyaziyyatda kartej deyilir. Kartejin elementinə kordinat komponentı deyilir. Aydındır ki, kartejlərə müəyyən sörada müxtəlif sayda elementlər daxil ola bilər və həmin elementlərin sayına görə kartejin uzunluğu təyin olunur. A=(a, b, c) bu kartejdə uzunluğu n=3 kimi götürürük. Bir çox hallarda kartejlərin xüsusi növü tətbiq olunur. Beləki onlarla işləmək daha əlverişli olur.
Tərif 2. Uzunluğu 2-yə bərabər olan kartejlərə nizamlanmış cütlər deyilir. Tutaq ki, müxtəlif A və B kartejləri verilmişdir.
Əgər: 1) n=m; 2)  – şərtləri ödənilərsə A və B çoxluqlara bərabər kartejlər deyilir. Bu şərtlərdən birincisinin tələbi ondan ibarətdir ki, kartejlərə daxil olan elementlərinin sayı bərabər olsun. 2-ci şərtin tələbi isə ondan ibarətdir ki kartejlərdə eyni nömrədə yerləşən elementlərdə öz arasında bərabər olsun. 2-ci şərtin tələbi ondan irəli gəlir ki, kartejlərdə elementlər müəyyən sırada dözölməlidir.
1) 
2) 
3) 
 .
Məktəb riyazi kursunda biz bir neçə dəfə məhz nizamlanmış cüt hesabı ilə rastlaşmışıq. İlk dəfə həmin anlayışla d-kart kordinatını qeyd edərkən, nöqtənin vəziyyətini müəyyən edərkən rastlaşırıq. Bundan başqa həmin nizamlanmış cütlərdən tənliklər sistemlərinin həllində sistemin həllini qeyd edəndə 1-ci mütləq x-dəyişəni 2-ci yerdə isə y-dəyişəninin qiymətini qeyd edirik.
7. Çoxluğun siniflərə ayrılışı.
 çoxluğu verilmişdir. Həmin çoxluğu müxtəlif p=(x) xarakteriksiz məzsusi alt çoxluqlara ayıra bilərik ki, məsələn: tutaq ki, bir alt çoxluğu 2-nin, 2-ci alt çoxluğa isə 3 ədədinin misli olan elementlərindən ibarətdir:
 .
Gördüyümüz kimi a1 və a2 alt çoxluqları a-nın boş çoxluq olmayan məxsusi alt çoxluqlardır. Əgər bizi alt çoxluqları maraqlandırarsa gördüyümüz kimi a1 kəsişmə (6,12) boş çoxluqlardan fərqli alınır. Lakin bir sıra məsələlərdə bizi elə alt çoxluqlar maraqlandırır ki, onların heç bir ortaq elementi olmasın. Belə alt çoxluqların alınması riyaziyyatda siniflərə ayrılış deyilir.
Tərif. Tutaq ki, A çoxluğu verilmişdir. Həmin çoxluğun elementlərindən A1, A2, An məxsusi alt çoxluqları tərtib olunmuşdur. Əgər alınan alt çoxluğları üçün A1 ... A2 ... An :
1) 
2)
3)  şərtləri ödənilərsə bütün An alt çoxluqlarına A-çoxluğunun cüt-cüt kəsişməyən sinifləri deyilir. Bu tələblərdən birincinin mahiyyəti ondan ibarətdir ki, tərtib olunan siniflərin heç biri boş olmasın, bu siniflərə heç olmazsa A-çoxluğunun bir elementi daxil olsun.
İkincinin tələbi o deməkdirki alınan siniflər heç biri ortaq element verməsin Yəni onlardan biri digəriylə kəsişməmişdir.
Üçüncü şərtin tələbi isə ondan ibarətdir ki, bütün alınmış siniflərin sonlu birləşməsi mütləq ilkin verilmiş A-çoxluğuna bərabər olmalıdır. Gördüyümüz kimi çoxluqların siniflərə ayrışını müxtəlif elementlərinə görə aparmaq mümkündür. Ümumiyyətlə çoxluğun siniflərə ayrışına həmin çoxluqlara daxil olan elementlərinin və o çoxluqda müəyyən olunmuş münasibətə nəzərən aparmaq mümkündür.
Misal. Tutaq ki, mənfi olmayan tam ədədlər çoxluqda müəyyən yol ilə siniflərə ayrışını almaq tələb olunur. (Z0) həmin ayrılışı biz məsələn P(x): bölənlərin sayı xarakteristik xassəyə apara bilərik və nəticədə (Z0) çoxluğu üçün aşağıda göxtərilən siniflərə ayrışını göstəririk.
 – çoxluqların daxil olan elementlərinin sonsuz sayda böləni var.
 çoxluqların daxil olan elementlərinin yeganə böləni var.
 çoxluqlarına daxil olan hər bir elementinin z (özü və vahid) böləni var.
çoxluqlarına daxil olan hər bir elementinin ən azı 3 müxtəlif böləni var (özü vahid və özündən fərqli) siniflərə ayrılışının tələblərinin yoxlayarkən əmin ola bilərik ki, alınmış siniflərin heç biri yalnış dayil onlar cüt-cüt kəsişmir, yəni
biz elə bir ədəd tapa bilmərik ki, həmin ədəd eyni zamanda verilmiş sinifin hər ikisinə daxil olsun. Yəni eyni zamanda həm sadə həm də mürəkkəb olsun. Əgər dört sinifin birləşməsini tərtib etsək Z0 çoxluğunu ala bilərik.
|
