1-ci üsul: çoxluqların elementlərini sadalama yolu ilə müəyyən edilməsi üsulu, bu üsulun tətbiqi sadəcə ondan ibarətdir ki, çoxluğa elementlər sadəcə olaraq aralarında vergül olmaqla böyük mötərizə daxilində yazılmalıdır. Adətən bu üsuldan verilən çoxluqlar sonlu sayda olanda istifadə olunur. Amma onuda qeyd edək ki, bəzən sonlu çoxluqlar çox böuük sayda elementlərdən ibarətdir.
Belə olan halda sadalanma üsulundan istifadə etmək heç də əlverişli deyil.
2-ci üsul: yuxarıda deyilənləri nəzərə alaraq elementlərinin sayı həddindən artıq və ya sonsuz çoxluqlar üçün xarakteristik xassə adlandırılan digər bir üsuldan istifadə edə bilərik. Öncə xarakteristik xassə anlayışlara konkret tərif qəbul edək.
Tərif. Tutaq ki, A çoxluğu verilmişdir və bu çoxluğun elementlərinin üzərinə ya tələb yaxud da bir xassə  qoyulur.
Əgər bu tələb və ya xassə yalnız və yalnız A-çoxluqlarının elementlərinə şamil oluna bilsə, o zaman deyirlər ki xassəsi A-çoxluğunun xarakteristik xassəsidir.
Qeyd edək ki, bu üsul hər variantda çox əlverişli olduğuna görə bunlar bəzən tək sonsuz yox eyni zamanda sonlu çoxluqların verilməsində də istifadə olunur.
Bu çoxluq elə natural ədədlərdən tərtib olunur ki, onların biri ciddi kiçik olmalıdır.
Bu çoxluqa 3 ədədini qalıqsız bölünən bütün tam ədədlər daxildir. Müqayisə etsək bu çoxluqlar fərdi sinifə daxildir. (1-ci sonlu)(2-ci sonsuz) lakin buna baxmayaraq bu çoxluqların hər ikisi yuxarıda göstərilən xarakteriksiz üsulun köməkliyi ilə verilir.Beləki M-çoxluğunun xarakteristik xassəsi hər bir ədədi qalıqsız 3-bölməsinin tələbindən ibarətdir.
3. Çoxluqlar arasında münasibət.
Tərif 1. Tutaq ki, A-çoxluğu verilmişdir. B-çoxluğunun hər bir elementi eyni zamanda A-çoxluğuna daxil olduqda B-çoxluğuna A-nın alt çoxluğu deyilir.
Misal 1. 
 
  .
Alt çoxluğunun tərifindən elə nəticəyə gəlmək olar ki, hər bir çoxluq eyni zamanda da elə ozünün alt çoxluğu kimi göstərilə bilər.
Alt çoxluğu 2 növə bölünür:
1)Məxsusi,
2)Qeyri-məxsusi.
Verilmiş çoxluğun özü və boş çoxluq qeyri-məxsusi alt çoxluqları adlanır. Gördüyünüz kimi qeyri-məxsusi çoxluqların elementləri ya verilmiş çoxluöa bərabər olmalıdı və ya heç bir elementi daxilinə almamalıdır. Onuda qeyd edək ki, boş çoxluq ixtiyari çoxluğun qeyri-məxsusi alt çoxluğu kimi qəbul olunur.
Verilmiş çoxluğun elementlərindən düzəlmiş digər alt çoxluqlarına məxsusi alt çoxluğu deyilir. Məxsusi alt çoxluğunun elementlərinin sayı mənasına görə ilkin verilmiş geniş çoxluğun elementlərinin sayından az olmalı belə olması həmin alt çoxluğu qeyri-məxsusi sayılır.
 bu çoxluq üçün (3,4) (6,7,9) və bunun kimiləri A-nın məxsusi alt çoxluğu kimi göstərilə bilər. Həqiqətən bu alt çoxluğunun elementinin sayı A-çoxluğun elementindən çox azdır.
Tərif 2. A alt çoxluğu B alt çoxluğun şərtlərini ödəyən çoxluqlara bərabər çoxluqlar deyilir. A = B kimi işarə olunur.
Misal 2.  bu çoxluqlar həqiqətən də yuxarkı tərifə əsasən bərabər çoxluq deyə bilərik. Çünki hər iki çoxluğun elementlərinin sayı eynidir.
(N=4) və bundan əlavə olaraq A və B çoxluqları eyni elementlərindən tərtib olunmuşdur.
A və B çoxluqların fərqinə gəldikdə deyə bilərik ki onlara daxil olan elementlər yalnız düzülüşünə görə fərqlənir. Deməli 2-çoxluğun bərabər olmasının 2 şərti var:
1) Sayca eyni olmalıdır.
2) Eyni elementlərdən tərtib olunmalıdırlar, əgər çoxluqlar arasında bərabərlik münasibəti mövcüd olarsa qeyd etdiyimiz kimi həmin çoxluqlar elementlərin sayına görə və elementlərinə görə eyni olmalıdırlar. Lakin həmin elementlərinin düzülüşünə görə çoxluqlar fərqli ola bilər. Bu münasibətin aşağıda göstərilən 3 əsas xassəsi var:
1) Refleksivlik – A=A. Yəni hər bir çoxluğun qeyri-məxsusi alt çoxluğu olur.
2)Simmetrik – A=B olarsa B=A doğru olmalıdır.
3)Tranzitivlik. Əgər A=B və eyni zamanda B=C olarsa, o zaman bir nəticə olaraq A=C münasibəti də doğru olmalıdır.
Mövzu 46
Çoxluqlar üzərində aparılan əməllər. Onların Eyler-Venn
diaqramlar ilə göstərilməsi. Çoxluqların bərabər olması. Alt
çoxluqları növləri. Kartej.
1. Çoxluqların kəsişməsi.
2. Çoxluqların birləşməsi.
3. İki çoxluğun fərqi.
4. Alt çoxluğun tamamlayıcısı.
5. Eyler-Venn diaqramları.
6. Kartej anlayışı.
7. Çoxluğun siniflərə ayrılışı.
1. Çoxluqların kəsişməsi.
Bildiyimiz kimi ixtiyari riyazi nəzəriyyəsinin mahiyyəti ondan ibarətdir ki, müəyyən təbiətli obyektlər toplusu öyrənmə predmeti kimi qəbul olunur və həmin obyektlərin özəl xassələri və eyni zamanda obyektlər arası münasibətlərini öyrənib təhlil etmək üçün müəyyən qayda və qanunlar qəbul olunur. Məsələn: ədədlər nəzəriyyəsini öyrənmə predmeti kimi bir ixtiyari növlü ədədləri göstərə bilərik. Həmin ədədləri və onların xassələrini təhlil etmək üçün bizə məlum olan toplama, çıxma, vurma, bölmə kimi və bu qanunlarla bağlı kök alma kimi cəbri əməllər qəbul olunur və həmin əməllər özlərinə görə xassələri məlum olunur.
Anoloji olaraq, baniləri alman alimləri olan Georq, Kantor, Rixard, Dedekind olan çoxluqları nəzəriyyəsi üçün də bu obyektləri öyrənmək üçün onların üzərində aparıla bilən əməlləri təyin olunur. Qeyd etməliyik ki, həmin əməllər adi ədədlər üzərində aparılan cəbri əməllərdən fərqli olaraq məntiqi məzmunludur. Həmin qanunları Corc Bull öz “Məntiqi Cəbr” adlı əsərində dəqiq və ətraflı əks etdirmişdir.
Tərif 1. Tutaq ki, A və B boş olmayan çoxluqlar verilmişdir. Bu çoxluluqların bütün ortaq olan elementlərindən düzəlmiş yeni çoxluğa A və B çoxluqlarının kəsişməsi deyilir.
Tərifdən aydındır ki, həmin yeni çoxluğun hər bir elementi mütləq həm A çoxluğuna, həm də B çoxluğuna daxil olmalıdır.  . Əgər bizdən bu çoxluğun kəsişməsini tərtib etmək tələb olunarsa biz AB çoxluğunu alarıq. İki çoxluq arasında kəsişmə münasibətini riyazi dildə aşağıdakı kimi göstərə bilərik.
AB=
Misal . A-düzbucaqlı üçbucaqları, B-bərabəryanlı üçbucaqlar. Bu iki çoxluğun kəsişməsinə daxil olan elementlər əlbəttə ki, üçbucaqlar olmalıdır. Lakin həmin fiqurlar A=B çoxluqları xarakteristik xassələrinə görə eyni zamanda hər ikisənə malik olmalıdır. Yəni kəsişməyə daxil olan üçbucaq həm düzbucaqlı həm də bərabəryanlı olmalıdır. Nəticədə biz düzbucaqlı bərabəryanlı üçbucaqlar çoxluğu alırıq.
A={ Y B ={ }Y={ Y }
Tərif 2. Kəsişmə əməli təqribi iki çoxluq üçün yox sonlu sayda boş olmayan çoxluqlar üçün də şamil oluna bilər.
İki çoxluğun kəsişməsi məntiqi əməl olduğuna görə o müəyyən xassələrə malik olmalıdır. Həmin xassələrə çoxluqların kəsişməsinin əsas qanunları deyilir.
1) AB= BA - kommutativlik xassələri.
2) A( BC) = (AB) C – assosiativlik xassəsi.
3) Əgər B – alt çoxluğu A olarsa o zaman AB= B olmalıdır.
4) AA = A
5) A
Dördüncü qanunun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, çoxluqlar nəzəriyyəsində qüvvət anlayışı yoxdur. Yəni ki, siz eyni çoxluğun istənilən sayda kəsişməsini düzəltməklə o çoxluğun elementlərinin sayı artmayacaq.
2. Çoxluqların birləşməsi.
Tərif. Tutaq ki, boş olmayan A və B çoxluqları verilmişdir. A və B çoxluqlarının heç olmasa birinə daxil olan bütün elementlərindən düzəlmiş yeni çoxluğa A və B çoxluqlarının birləşməsi deyilir və A və B kimi işarə olunur. Tərifdən aydındır ki, element mütləq verilən çoxluqların birinə daxil olmalıdır.
Misal. 
İki çoxluğun birləşməsini oqaydaya əsasən aparırıq ki, əvvəlcə daha geniş olan çoxluq yazılır və həmin çoxluğa 2-ci çoxluqdan fərqli elementlər əlavə olunur.
A və B çoxluqlarının elementlərini müqayidə etdikdə görünür ki
 .
Görünür ki, A və B çoxluqları elementlərinin sayının cəmi yeni çoxluğun elementlərinin sayından fərqlidir. Bu ona görə boş çoxluq deyil ki, verilmiş çoxluqların ortaq elementləri var. Həmin elementlər birləşməyə bir dəfə yazıldığına görə yeni çoxluğun elementlərinin sayı fərqli alınır. Qeyd edək ki, əgər verilmiş çoxluqların ortaq elementləri yoxdursa, o zaman birləşməyə daxil olan elementlərinin sayı verilmiş çoxluqların elementlərinin cəminə bərabər olmalıdır.
Ümumiyyətlə çoxluqların birləşməsinə daxil olan elementlərinin sayını aşağıda göstərilən qaydaların birinə əsasən hesablamaq mümkündür.
Qayda 1. Əgər çoxluqlar kəsişirsə.
I. 
Qayda 2. Əgər verilmiş çoxluqlar kəsişməyən çoxluqlar olarsa, o zaman
II. 
Kəsişmədə olduğu kimi çoxluqların birləşməsi üçün də bir neçə əsas məntiqi qəbul olunur.
Xassə 1.  bu xassənin mahiyyəti ondan ibarətdir ki, çoxluqlar nəzəriyyəsində əmsal anlauışı yoxdur.
Xassə 2.  assosiyativlik qanunu.
III. Əgər B alt çoxluğu A olarsa, o zaman birləşmə B = A – ya birləşmə əməli nəticəsində A – çoxluğu B-dən daha geniş çoxluq olaraq onu öz daxilinə olur.
IV.  (birləşmə əməlinin tərifinə görə) bu əsas birləşməyə aid qanunlardan başqa daha 2 qanun mövcuddur ki, həmin qanun birləşmə və kəsişmə əməlinin bağlı olmasını əks etdirir.
V.  1-ci distributivlik qanunu.
VI.  2-ci distributivlik qanunu müqayisə üçün deyə bilərik ki, ədədlər nəzəriyyəsində də toplama və vurma qanunlarına bir-birinə bağlayan toplamaya nəzərən vurma qanunu mövcuddur,(paylama qanunu), Lakin ədədlər üçün yalnız vurmaya görə həmin qanun doğru sayıla bilər. Əks halda hesablamaların nəticələri tam fərqli alınır. Amma çoxluqlar nəzəriyyəsi üçün həm kəsişməyə nəzərən həm də birləşməyə nəzərən o təbiətli qanunlar mövcuddur.
3. İki çoxluğun fərqi.
| 