Mühazirəçi : R. F. D. dosent Orucova Rəna Üzeyir qızı Ədəbiyyat

0,

1,

a) intervalında qiymət almasını;

b) ehtimalların paylanma sıxlığını;

c) riyazi gözləməsini tapın.

b) X təsadüfi kəmiyyət üçün ehtimalların paylanma sıxlığını f (x) = Fꞌ (x) düsturu vasitəsilə hesablayaq.

Alırıq ki,

0,

f (x) = ² ,

0,

c) X təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləməsini aşağıdakı düstura əsasən tapırıq

M(x) =

Alırıq ki,

Ehtimal nəzəriyyəsində öyrənilən qanunlar riyazi abstraksiya olmayıb, bir çox kütləvi hadisə və proseslərə xas olan qanuna uyğunluqlardır. Hər bir belə qanunauyğunluğu müəyyən etmək üçün kifayyət gədər təcrübə və müşahidələr aparılır. Bu təcrübə və müşahidələrin nəticələri və həm də başqa yolla alınmış statistik məlumatlar ətraflı öyrənilir, analiz edilir və beləliklə də baxılan ər üçün səciyyəvi olan qanunauyğunluqlar kəşf edilir.

Kütləvi təsadüfi hadisələr üzərində aparılan müşahidələrin nəticəsini qeyd etmək, onları qruplaşdırmaq və analiz etmək üsulları riyazi statistika elmində

müəyyən edilir. Riyazi statistikada müxtəlif məsələlər öyrənilir. Bunlardan statistik məlumatların toplanma və qruplaırılmasını, naməlum paylanma funksiyasının və paylanma parametrlərinin qiymətləndirilməsini (onların münasib təqribi qiymətlərinin tapılmasını), bir təsadüfi kəmiyyətin başqa təsadüfi kəmiyyətlərdən asılılığının qiymətləndirilməsini, naməlum paylanmanın növü və növü məlum olan paylanmanın parametrlərinin qiymətləri haqqında fərziyyələrin statistik yoxlanmasını və başqaların göstərmək olar.

Tutaq ki, sonlu və ya sonsuz eyni növ obyektlər çoxluğuna baxılır və bu çoxluğu təşkil edən elementlərin müəyyən əlaməti (və ya xassəni) ödəməsi tədqiq edilir. Baxılan əlamət təsadüfi kəmiyyətdir və onun qiyməti bir elementdən başqasına keçdikdə dəyişir. Məsələn, bir zavodda hazırlanmış detalların tələb olunan standarta uyğun olması əlaməti, detalları müəyyən ölçülərinin dəqiqliyi əlaməti və s.tədqiq edilə bilər. Çoxluğu təşkil edən elementlərin sayı az olduqda onun bütün elementlərinin həmin əlaməti ödəyib-ödəməməsini yoxlamaq olar lakin elementlərin sayı çox böyük olduqda bu mümkün deyildir. Çoxluğun baxılan elementlərinin tələb olunan əlaməti ödəməsini yoxlamaq bəzən böyük çətinliklərlə bağlı olur və ya bu iş böyük xərc tələb edir. Buna görə də, çox zaman baxılan çoxluğun bütün elementləri deyil, ondan təsadüfi olaraq seçilən məhdud sayda elementlər tətqiq edilir və alınan nəticəyə əsasən ümumi çoxluq elementlərinin tələb edilən əlaməti ödəməsi haqqında müəyyən fikir irəli yürüdülür. Bu halda, müşahidə və ya tətqiq olunan çoxluq baş yığım və ondan təsadüfi halda seçilən kiçik həcmli çoxluq isə təsadüfi seçmə yığım və ya qısaca seçmə adlanır. Yığımı təşkil edən elementlərinin sayına onun həcmi deyilir.

Məsələn, 10.000 elementi olan çoxluqdan təsadüfi 100 element seçilmişdirsə, onda:

N = 10.000 – baş yığımin həcmi;

n = 100 – təsadüfi seçmə yığımın həcmi olacaq.

Burada baxılan baş yığım və təsadüfi seçmə yığım anlayışları yeni olsa da, onlar mahiyyətcə paylanma qanunu tətqiq edilən müəyyən təsadüfi kəmiyyətin aldığı qiymətlər çoxluğudur.

Tutaq ki: F (x) – paylanma funksiyası, X – təsadüfi kəmiyyəti sinaqlar nəticəsində x qiymətlərini alır.

X – təsadüfi kəmiyyəti sinaq nəticəsində alan x₁, x₂, ..., x_n çoxluğu baş yığımdan təsadüfi seçilən yığım adlandıra bilərik və n ədədi həmin yığımın həcmini göstərən bir parametrdır.

Riyazi statistikanın əsas məsələsi baş yığımdan təsadüfi ayrılan (x₁, x₂, ..., x_n ) seçmə yığımın xassələrinə əsasən baş yığımın uyğun xassələri haqqında düzgün elmi nəticələr almaqdır.

Qeyd edə ki, seçmə yığım müxtəlif üsullarla düzəldilə bilər.

►Tutaq ki, baş yığımın elementlərindən birini təsadüfi seçilir tətqiq edilir və yenidən X baş yığıma qaytarılır. Bu prosesi n dəfə təkrar etdikdə, həcmi n olan təkrarlı seçmə yığım alınır.

► Baş yığımın təsadüfi seçilən elementləri yenidən X baş yığıma qaytarılmırsa, onda nəticədə təkrarsız seçmə yığım alınır.

Praktikada əsasən təkrarsız seçmədən istifadə olunur. Çünki təkrarsız seçmədə

daha çox fərgli element müşahidə olunur və alınan nəticələrbaş yığımın uyğun

xassələrinin daha düzgün əks etdirir.

Ümümiyyətlə, seçmə yığım elə olmalıdır ki, o baş yığımın uyğun xassələrini mümkün gədər düzgün əks etdirsin. Buna seçmə yığımın nümayəndəli (reprezentativ) olması xassəsi deyilir.

3. Emprik paylama funksiyası; poliqan və histoqram.

►Tutaq ki, paylanma funksiyası F(x) olan baş yığımdan x₁, x₂, ..., x_n təsadüfi seçmə yığım ayrılmışdır. Seçilən bu x_k qiymətlərinə variantlar, həmin qiymətlərin artan ardıcıllıq şəklində

yazılışına isə variasiya sırası deyilir:

Seçmənin əsas xarakteristikalarından biri onun paylanmasıdır. Tutaq ki, seçməni təşkil edən qiymətlərini eyni ehtimalı ilə ala bilən köməkçi diskret təsadüfi kəmiyyət X* ə işarə edilmişdir:

Diskret təsadüfi X* kəmiyyətinin paylanmasına ədədlərinin x-dən kiçik olanlarının sayına ilə işarə etsək, onda

olar. Bu ifadəyə seçmənin paylanma funksiyası və ya emprik paylanma funksiyası deyilir və ilə işarə edilir:

münasibəti ödənilir. Bu göstərir ki, seçmənin empirik paylanma funksiyasını baş yığımın F(x) paylanma funksiyasının təqribi qiyməti kimi götürmək olar.

qrafiki 1-ci şəkildə göstə-

rildiyi kimi pilləvari xətdir.

x₁ x₂ 0 x₃ x₄ x

Şəkil – 1

Seçmənin başqa bir həndəsi göstərilişi də onun qistoqramıdır.

Seçmənin qistoqramını qurmaq üçün ədəd oxu üzərində sonlu sayda (k = 0, 1, 2, ..., n) parçaları götürülür. Seçmənin bu parçalarda yerləşən nöqtələrinin sayı uyğun olaraq (k = 0, 1, 2, ..., n) olsun.

y

υ_k

a₀ a₁ a₂ 0 a_k a_k+1 a_k+n x

Şəkil – 2

İndi hər bir parçası üzərində, oturacağı həmin parça hündürlüyü υ_k olan düzbucağlı quraq. Alınan pilləvarı fiqur (şəkil – 2) seçməsinin qistoqramı adlanır.

Seçmənin qistoqramı və onun empirik paylanma funksiyasının qrafiki baş yığımın naməlum F(x) paylanma funksiyasının çəkli haqqında müəyyən fikir söyləməyə imkan verir.

Mövzu 44