Misal. X kəsilməz təsadüfi kəmiyyəti paylanma funksiyası ilə verilmişdir:
0, 
F(x) =  2 , 
1, 
X təsadüfi kəmiyyətinin:
a)  intervalında qiymət almasını;
b) ehtimalların paylanma sıxlığını;
c) riyazi gözləməsini tapın.
a) X təsadüfi kəmiyyətinin intervalında qiymət alması ehtimalı həmin intervalda paylanma funksiyasının artımına bərabərdir:
 2  2 =  .
b) X təsadüfi kəmiyyət üçün ehtimalların paylanma sıxlığını f (x) = Fꞌ (x) düsturu vasitəsilə hesablayaq.
Alırıq ki,
0,
f (x) =  2 ,
0,
c) X təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləməsini aşağıdakı düstura əsasən tapırıq
M(x) = 
Alırıq ki,
M(X) =   .
Mövzu 43
Riyazi statistika haqqında anlayış. Yığım anlayışı. Emprik
paylama funksiyası.
1. Riyazi statistika məsələləri haqqında.
2. Baş yığım və seçmə anlayışı.
3. Emprik paylama funksiyası; poliqan və histoqram.
1. Riyazi statistika məsələləri haqqında.
Ehtimal nəzəriyyəsində öyrənilən qanunlar riyazi abstraksiya olmayıb, bir çox kütləvi hadisə və proseslərə xas olan qanuna uyğunluqlardır. Hər bir belə qanunauyğunluğu müəyyən etmək üçün kifayyət gədər təcrübə və müşahidələr aparılır. Bu təcrübə və müşahidələrin nəticələri və həm də başqa yolla alınmış statistik məlumatlar ətraflı öyrənilir, analiz edilir və beləliklə də baxılan ər üçün səciyyəvi olan qanunauyğunluqlar kəşf edilir.
Kütləvi təsadüfi hadisələr üzərində aparılan müşahidələrin nəticəsini qeyd etmək, onları qruplaşdırmaq və analiz etmək üsulları riyazi statistika elmində
müəyyən edilir. Riyazi statistikada müxtəlif məsələlər öyrənilir. Bunlardan statistik məlumatların toplanma və qruplaırılmasını, naməlum paylanma funksiyasının və paylanma parametrlərinin qiymətləndirilməsini (onların münasib təqribi qiymətlərinin tapılmasını), bir təsadüfi kəmiyyətin başqa təsadüfi kəmiyyətlərdən asılılığının qiymətləndirilməsini, naməlum paylanmanın növü və növü məlum olan paylanmanın parametrlərinin qiymətləri haqqında fərziyyələrin statistik yoxlanmasını və başqaların göstərmək olar.
2. Baş yığım və seçmə anlayışı.
Tutaq ki, sonlu və ya sonsuz eyni növ obyektlər çoxluğuna baxılır və bu çoxluğu təşkil edən elementlərin müəyyən əlaməti (və ya xassəni) ödəməsi tədqiq edilir. Baxılan əlamət təsadüfi kəmiyyətdir və onun qiyməti bir elementdən başqasına keçdikdə dəyişir. Məsələn, bir zavodda hazırlanmış detalların tələb olunan standarta uyğun olması əlaməti, detalları müəyyən ölçülərinin dəqiqliyi əlaməti və s.tədqiq edilə bilər. Çoxluğu təşkil edən elementlərin sayı az olduqda onun bütün elementlərinin həmin əlaməti ödəyib-ödəməməsini yoxlamaq olar lakin elementlərin sayı çox böyük olduqda bu mümkün deyildir. Çoxluğun baxılan elementlərinin tələb olunan əlaməti ödəməsini yoxlamaq bəzən böyük çətinliklərlə bağlı olur və ya bu iş böyük xərc tələb edir. Buna görə də, çox zaman baxılan çoxluğun bütün elementləri deyil, ondan təsadüfi olaraq seçilən məhdud sayda elementlər tətqiq edilir və alınan nəticəyə əsasən ümumi çoxluq elementlərinin tələb edilən əlaməti ödəməsi haqqında müəyyən fikir irəli yürüdülür. Bu halda, müşahidə və ya tətqiq olunan çoxluq baş yığım və ondan təsadüfi halda seçilən kiçik həcmli çoxluq isə təsadüfi seçmə yığım və ya qısaca seçmə adlanır. Yığımı təşkil edən elementlərinin sayına onun həcmi deyilir.
Məsələn, 10.000 elementi olan çoxluqdan təsadüfi 100 element seçilmişdirsə, onda:
N = 10.000 – baş yığımin həcmi;
n = 100 – təsadüfi seçmə yığımın həcmi olacaq.
Burada baxılan baş yığım və təsadüfi seçmə yığım anlayışları yeni olsa da, onlar mahiyyətcə paylanma qanunu tətqiq edilən müəyyən təsadüfi kəmiyyətin aldığı qiymətlər çoxluğudur.
Tutaq ki: F (x) – paylanma funksiyası, X – təsadüfi kəmiyyəti sinaqlar nəticəsində x qiymətlərini alır.
X – təsadüfi kəmiyyəti sinaq nəticəsində alan x1, x2, ..., xn çoxluğu baş yığımdan təsadüfi seçilən yığım adlandıra bilərik və n ədədi həmin yığımın həcmini göstərən bir parametrdır.
Riyazi statistikanın əsas məsələsi baş yığımdan təsadüfi ayrılan (x1, x2, ..., xn ) seçmə yığımın xassələrinə əsasən baş yığımın uyğun xassələri haqqında düzgün elmi nəticələr almaqdır.
Qeyd edə ki, seçmə yığım müxtəlif üsullarla düzəldilə bilər.
►Tutaq ki, baş yığımın elementlərindən birini təsadüfi seçilir tətqiq edilir və yenidən X baş yığıma qaytarılır. Bu prosesi n dəfə təkrar etdikdə, həcmi n olan təkrarlı seçmə yığım alınır.
► Baş yığımın təsadüfi seçilən elementləri yenidən X baş yığıma qaytarılmırsa, onda nəticədə təkrarsız seçmə yığım alınır.
Praktikada əsasən təkrarsız seçmədən istifadə olunur. Çünki təkrarsız seçmədə
daha çox fərgli element müşahidə olunur və alınan nəticələrbaş yığımın uyğun
xassələrinin daha düzgün əks etdirir.
Ümümiyyətlə, seçmə yığım elə olmalıdır ki, o baş yığımın uyğun xassələrini mümkün gədər düzgün əks etdirsin. Buna seçmə yığımın nümayəndəli (reprezentativ) olması xassəsi deyilir.
3. Emprik paylama funksiyası; poliqan və histoqram.
►Tutaq ki, paylanma funksiyası F(x) olan baş yığımdan x1, x2, ..., xn təsadüfi seçmə yığım ayrılmışdır. Seçilən bu xk qiymətlərinə variantlar, həmin qiymətlərin artan ardıcıllıq şəklində
 (1)
yazılışına isə variasiya sırası deyilir:
Seçmənin əsas xarakteristikalarından biri onun paylanmasıdır. Tutaq ki, seçməni təşkil edən  qiymətlərini eyni  ehtimalı ilə ala bilən köməkçi diskret təsadüfi kəmiyyət X* ə işarə edilmişdir:
Diskret təsadüfi X* kəmiyyətinin paylanmasına ədədlərinin x-dən kiçik olanlarının sayına  ilə işarə etsək, onda
 (2)
olar. Bu ifadəyə seçmənin paylanma funksiyası və ya emprik paylanma funksiyası deyilir və  ilə işarə edilir:
 . (3)
Hadisənin başvermə tezliyi onun ehtimalının təqribi qiyməti olduğu kimi təsadüfi kəmiyyət olan  funksiyası da baş yığımın F(x) paylanma funksiyasının (buna bəzən baş yığımın nəzəri paylanma funksiyası da deyilir) təqribi qiyməti hesab oluna bilər. (3) empirik paylanma funksiyasının baş yığımın F(x) paylanma funksiyasının xassələrinə oxşar xassələri vardır: azalmayandır, qiymətləri  parçasında yerləşir və  bərabərliklərini ödəyir. Bununla belə funksiyası  hadisəsinin ehtimalını yox , onun təsadüfi seçmədə başvermə tezliyini göstərir.
Bernulli teoreminə görə  şərtində seçmənin empirik paylanma funksiyası ehtimala görə baş yığımın F(x) paylanma funksiyasına yığılır, yəni istənilən  və  ədədləri üçün
 (4)
münasibəti ödənilir. Bu göstərir ki, seçmənin empirik paylanma funksiyasını baş yığımın F(x) paylanma funksiyasının təqribi qiyməti kimi götürmək olar.
►Seçməni və onun paylanmasını əyani təsəvvür etmək üçün qrafiklərdən istifadə olunur. Əvvəlcə seçmənin empirik paylanma funksiyasının qrafikini quraq.  funksiyası seçmənin iki qonşu elementi arasında – nın
mislinə bərabər olan, yəni  şəklində sabit qiymət alır. Seçmənin  nöqtələri həmin funksiyanın sonlu sıçrayışlı kəsilmə nöqtələridir və bu nöqtələrdə onun sıçrayışa (və ya m dənə nöqtəsi üst-üstə düşdükdə ) ədədinə bərabərdir.
y Bunlar göstərir ki, 
funksiyasının
qrafiki 1-ci şəkildə göstə-
rildiyi kimi pilləvari xətdir.
x1 x2 0 x3 x4 x
Şəkil – 1
Seçmənin başqa bir həndəsi göstərilişi də onun qistoqramıdır.
Seçmənin qistoqramını qurmaq üçün ədəd oxu üzərində sonlu sayda  (k = 0, 1, 2, ..., n) parçaları götürülür. Seçmənin bu parçalarda yerləşən nöqtələrinin sayı uyğun olaraq (k = 0, 1, 2, ..., n) olsun.
y
υk
a0 a1 a2 0 ak ak+1 ak+n x
Şəkil – 2
İndi hər bir parçası üzərində, oturacağı həmin parça hündürlüyü υk olan düzbucağlı quraq. Alınan pilləvarı fiqur (şəkil – 2) seçməsinin qistoqramı adlanır.
Seçmənin qistoqramı və onun empirik paylanma funksiyasının qrafiki baş yığımın naməlum F(x) paylanma funksiyasının çəkli haqqında müəyyən fikir söyləməyə imkan verir.
Mövzu 44
| 