AZƏRBAYCAN DÖVLƏT AQRAR UNİVERSİTETİ
Kafedra: Fizika və riyaziyyat
Fənn: Riyaziyyat
Mühazirəçi: R.F.D. dosent Orucova Rəna Üzeyir qızı
Ədəbiyyat:
1. Məmmədov R.H. Ali riyaziyyat kursu. Bakı, Maarif, 3 hissə 1978.
2. Ə.B.Əliyev, A.Hüseynov. Riyaziyyat, Bakı 2005
3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. Москва, Наука, 1971.
4. Кудрявцев В.А. ; Демидович Б.П. Краткий курсвысшей математики, Москва, Наука, 1989.
5. Ə.A.Vəliyev və başqaları. Ali riyaziyyatdan məsələ və misal həllinə rəhbərlik. I və II hissə Bakı,2001.
6. Alməmmədov M.S. və başqaları. İqtisadçılar üçün ali riyaziyyat kursuna aid məslə və misallar. Bakı,2009.
7. Шипачев В.С. Высшая математика, Москва, Высшая школа 1990.
8. Маркович Э.С. Курс высшей математики. Москва, Высшая школа, 1972.
9. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. Учебник. М;2010.
10. Тихомиров В.М. Дифференциальное исчисление (теория и приложения), М;2002.
11. Слободская В.А. Краткий курс высшей математики, Москва, Высшая школа, 1969.
12. Abdullayev F.S. Adi diferensial tənliklər.Kompleks dəyişənli funksiyalar. Bakı, Kür, 2002.
13. Orucova R.Ü. Qeyri-müəyyən inteqral. Müəyyən inteqral. Çoxqat və əyrixətli inteqrallar. Dərs vəsaiti. Gəncə, 2016.
14. Hüseynov O.M. Adi differensial tənliklərdən məsələ və misallar. AKTA, Gəncə 2003.
15. Məsimova S.N. Ali riyaziyyatın əsasları, Bakı, Yeni Nəsil, 2009
16.Piskunov N.S. Diferensial və inteqral hesabı. Bakı, Maarif, 1986.
17. Qmurman V.Y. Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika məsələlərinin həllinə dair rəhbərlik. Bakı, Maarif, 1980.
18. 1. Əkbərov M. Ali cəbr, Bakı, Maarif, 1976.
19. Nağıyev Ə. Ədədi sistemlər, Bakı, Maarif, 1976.
20. İbrahimov İ.İ. Ədədlər nəzəriyyəsinin əsasları, Bakı, 1955.
21. Sultanov R.M. Xətti cəbrin əsasları, Bakı, 1960.
ADAU - 2017
Mövzu 1
Matris anlayışı. Determinantlar və onların xassələri.
1. Matris anlayışı, onların üzərində əməllər.
2. Determinantın tərifi və əsas xassələri.
3. Tərs matris anlayışı.
4. Matrisin ranqı.
1. Matris anlayışı, onların üzərində əməllər.
►Tutaq ki, m və n natural ədədlərdir. mn sayda ədəddən düzbucaqlı şəklində düzəldirmiş , m sayda sətri və n sayda sütunu olan cədvələ (m · n) – ölçülü matris deilir. Matrisi
a11 a12 ... a1n 
a21 a22 ... a2n
. . . . .
am1 am2 ..amn
və ya
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
- - - - - - - - - -
am1 am2 ..amn
şəklində yazırlar. Bəzən qısa olmaq üçün matrisi böyük hərflə (A, B, C, X, Y, ...), və ya ║ai j║ (i=1,2, ... n) şəklində işarə edirlər.
Matrisi təşkil edən ai j ədədlərinə onun elementləri deyilir. Elementin aşaqısında yazılan iki (ij) indeksin birincisi (i) onun yerləşdiyi sətrin nömrəsini, ikincisi (j) isə yerləşdiyi sütunun nömrəsini göstərir.
(m · n) ölçülü (1) matrisinin sətir və sütunlarının sayı bərabər (m=n) olduqda, ona kvadrat matris deilir. Bu halda n ədədinə kvadrat matrisin tərtibi deyilir. Məsələn
0 1 3
A = 3 5 B = 2 4 7
7 8 0 3 4
matrislərinin birincisi iki, ikincisi isə üçtərtiblidir. Bir elementdən ibarət olan matrisə birtərtibli matris deyilir. Birtərtibli matrisi onu təşkil edən yeganə ədədlə eyniləşdirirlər: ║a11║= a11.
Ancaq bir sətri olan matrisə sətir-matris, ancaq bir sütunu olan matrisə sütun-matris deyilir. Məsələn,
A = 2, 7, 8, 9 B = a, b, c
matrisləri sətir-matrislər,
0 a1
C = 2 , D = b1
1 c1
4 d1
matrisləri isə sütun-matrislərdir.
n-tərtibli kvadrat
a11 a12 ... a1n 
A = a21 a22 ... a2n
. . . . .
am1 am2 ..amn
matrisinin sol yuxarı küncündə olan a11 elementi ilə sağ aşağı küncündə olan amn elementini birləşdirən düz xətt parçası üzərində yerləşən a11, a22, a33, ..., anm elementləri çoxluğu həmin matrisin baş diaqonalı adlanır. Ancaq baş diaqonalının elementləri sıfırdan fərgli olan kvadrat matrisə diaqonal matris deilir. Bütün elementləri vahidə bərabər olan diaqonal matris vahid matris adlanır və In ilə işarə olunur. Birtərtibli vahid matris
ikitərtibli vahid matris
Üçtərtibli vahid matris  və s.olar.
Bütün elementləri sıfra bərabər olan kvadrat matrisə sıfır matris deyilir və O ilə işarə olunur. Məsələn,
 
matrisləri uyğun olaraq ikitərtibli və üçtərtibli sıfır matrislərdir.
Verilmiş A matrisinin bütün sətir və sütunlarının yerinin dəyişilməsinə (nömrəsini saxlamaqla) həmin matrisin çevrilməsi (transponirə edilməsi) deyilir və A⃰ ilə işarə olunur. Məsələn,
1 3
1 2 0 ⃰ = 2 4 0 2 ⃰ = 0 5
3 4 7 0 7 , 5 -7 2 -7 ,
Aydındır ki, (A*)* = A olar. A = A* olduqda A matrisinə simmetrik matris deyilir. (2) matrisinin simmetrik olması şərtini ai j = ai j ( i, j = 1, 2, ..., n ) kimi yazmaq olar.
ai j = - ai j olduqda A matrisinə çəpsimmetrik matris deyilir.
Bütün elementləri həqiqi ədədlər olan matrisə həqiqi, heç olmasa bir elementi kompleks ədəd olan matrisə isə kompleks matris deyilir. Biz burada həqiqi matrislərə baxırıq.
Eyni ölçülü və bütün uyğun elementləri bərabər olan matrislərə bərabər matrislər deyilir.
►Matrislərin cəmindən (fərgindən), ədədə və başqa matrisə hasillərindən danışmaq olar.
Eyni (m · n) – ölçülü A =║ai j║ və B = ║bi j║ (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ...,n) matrislərinin cəmi həmin ölçülü və hədləri
ci j = ai j + bi j (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ...,n) (1)
kimi təyin olunan C = ║ci j║ (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ...,n) matrisinə deyilir və C = A+B ilə işarə olunur. Xüsusi halda, 
a11 a12 a13 + b11 b12 b13 = a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13
a21 a22 a23 b21 b22 b23 a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23
Tərifdən aydındır ki, matrislərin toplanması yerdəyişmə və qruplaşdırma xassələrinə malikdir, yəni eyniölçülü A, B və C matrisləri üçün
A + B = B + A,
A + ( B + C ) + (A + B ) + C
münasibətləri doğrudur.
Eyniölçülü A matrisi və O (sıfır) matrisi üçün həmişə
A + O = A
münasibəti doğrudur.
Eyniölçülü A və B matrislərinin fərgi həmin ölçülü elə C matrisinə deyilir ki, onu B ilə topladıqda A-ya bərabər olsun: A = C + B. A və B matrislərinin fərgini
A – B = C
ilə işsarə edirlər. Aydındır ki, həmişə:
A – A = O
Verilmiş A =║ai j║ (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ...,n) matrisinin həqiqi λ ədədinə hasili, hədləri
bi j = λ ai j (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ...,n)
kimi təyin olunan B = ║bi j║ (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ...,n) matrisinə deyilir və B = λA( və ya B = Aλ ) ilə işarə olunur. Aydındır ki, ixtiyarı A, B matrisləri və həqiqi λ, μ ədədləri üçün
( λμ ) A = λ ( μA ), λ ( A + B ) = λA + λB,
( λ + μ )A = λA + μA
xassələri doğrudur.
Qeyd edək ki, A və B matrislərinin fərgini
A + B = A + (-1 ) · B
kimi də yazmaq olar. Bundan başqa
( A + B )* = A* + B * və (λA )* = λA* (2)
sadə xassələri də doğrudur.
Indi iki matrisin hasilinin təyin edək. (m · n) – ölçülü A =║ai j║ (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ...,n) matrisinin (n · p) – ölçülü B = ║bi j║ matrisinə hasili hədləri ci j
 i k bk j (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ..., p) (3)
kimi təyin olunan ( m · p) ölçülü C = ║ci j║ (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ...,p) matrisinə deyilir və C=AB ilə işarə olunur.
Tərifdən aydındır ki, istənilən ölçülü iki matrisi vurmaq olmaz. A matrisini o zaman B matrisinə vurmaq olar ki; A-nın sütunlarının sayı B-nın sətirlərinin sayına bərabər olsun. Xüsusi halda,
a11 a12 · b11 b12 = ( a11 b12 + a12b21 ) ( a11b12 + a12b22 ) 
a21 a22 b21 b22 ( a21b11 + a22b21 ) ( a21b12 + a22b22 )
Deməli, AB və BA hasillərinin ikisinin də eyni zamanda təyin olunması üçün A-nın sütunlarının sayı B-nın sətirlərinin sayına və A-nın sətirlərinin sayı B-nın sütunlarının sayına bərabər olmalıdır. A və B matrisləri eynitərtibli kvadrat matrislər olduqda AB və BA hasilləri də eynitərtibli kvadrat matrislər olar.
Xüsusi halda, hər bir kvadrat A matrisini özü-özünə vurmaq olar. Bu halda həmin matrisin kvadratı, kubu və s. alınır:
A·A=A2, A·A·A=A·A2=A3, ...
Bundan başqa,
a1 a1x1 a2x2 … a1xn 
a2 a2x1 a2x2 … a2xn
… · x1, x2, ..., xn = . . . . . .
an anx1 anx2 … anxn ,
a11 a12 ... a1n x1 a11x1 = a12x2 + ... + a1nxn
AX = a21 a22 ... a2n · x2 = a21x1 = a22x2 + ... + a2nxn
. . . . . . . … . . . . . . . . . . . . . .
an1 an2 ... ann xn an1x1 = an2x2 + ... + annxn .
Qeyd edək ki, eynitərtibli iki A və B kvadrat matrislərinin hasili üçün yerdəyişmə xassəsi doğru olmaya da bilər. Doğrudan da,
A = 0 1 və B = 0 1
0 0 0 0
matrisləri üçün
AB = 1 0 və BA = 0 0
0 0 0 1
yəni AB = BA. Buradan aydın ki, matrisləri vurarkən onların yerini dayişmək olmaz.
Lakin istənilən kvadrat A matrisi ilə eynitərtibli olan I vahid və O sıfır matrislərinin hasili üçün həmişə yerdəyişmə xassəsi doğrudur:
IA = AI = A (4)
OA = AO = O (5)
(4) bərabərliyi göstərir ki, vahid I matrisinin həqiqi vahid ədədinin uyğun xassəsinə vardır. Məsəslən, ixtiyari A, B, C matrisləri ( lazım olan ölçülü ) və həqiqi λ ədədi üçün
(λA)B = A(λB) = λ(AB),
(A+B)C = AC + BC
C(A+B) = CA + CB
A(BC) = (AB) · C
bərabərlikləri doğrudur. Eyni zamanda,
(AB)* = B* · A* (6)
2. Determinantın tərifi və əsas xassələri.
►Əvvəlcə ikitərtibli
 (1)
matrisinə baxaq. Bu matrisin elementlərindən düzəldilməş.
a11 a22 – a12 a21 =  (2)
kimi işarə olunur. (1) matrisinin (2) determinantını ∆(A2) və ya det A2 ilə işarə edirlər.
Üçtərtibli
a11 a12 a13
A3 = a21 a22 a23 (3) a31 a32 a33
matrisinin elementlərindən düzəldilmiş.
a11 a22 a33 + a21 a23 a31 +a21 a32 a13 – a13 a22 a31 – a12 a21 a33 – a11 a23 a32 (4)
ifadəsinə həmin matrisin determinantı (və ya üçtərtibli determinant) deyilir və
∆(A3) =  (5)
ilə işarə olunur. Beləliklə,
Bu bərabərliyin sağ tərəfindəki (4) ifadəsinə (5) determinantını açılışı (və ya qiyməti) deyilir. Verilmiş determinantın qiymətini tapmaq üçün onun bərabər olduqu (4) ifadəsini hesablamaq lazımdır.
Matrislər kimi determinantlar da sətir və sütunlardan ibarətdir. Ikitərtibli determinantın iki sətri və iki sütunu, üçtərtibli determinantın isə üç sətri və üç sütunu vardır. Determinantı təşkil edən ai j ədədləri onun elementləri adlanır.
Determinantın hər hansı elementinin olduğu sətir və sütun üzərindən düz xətlər çəkdikdə yerdə qalan elementlər ( nisbi vəziyyətlərini dəişmədən) bir determinant (tərtibi verilmiş determinantın tərtibindən bir vahid az olan) əmələ gətir. Bu determinanta həmin elementin minoru deyilir. ai j elementinin minorunu Mi j ilə işarə edirlər. Mi j ilə işarə minorunun (-1)i+j vuruğu ilə hasilinə ai j elementinin cəbri tamamlayıcısı deyilir və
Ai j = (-1)i+j Mi j
ilə işarə olunur.
İkitərtibli (2) determinantının a11 elementinin minoru M11 = a22 cəbri tamamlayıcısı isə A11 (-1)1+1M11 = a22; üçtərtibli (5) determinantının a13 və a23 elementlərinin minoru uyğun olaraq
M13 =  və M23 =
cəbri tamamlayıcıları isə
A13 = (-1)1+3 və A23 = (-1)2+3
T e o r e m 1. Hər bir hər hansı bir sətir və ya sütun elementlərinin öz cəbri tamamlayıcıları ilə hasillərinin cəminə bərabərdir.
Teorem üçtərtibli determinantı ikitərtibli determinantlar vasitəsilə, ikitərtibli determinantı isə birtərtibli determinantlar vasitəsilə təyin etməyə imkan verir. Bu qayda ilə dörd, beş və s. tərtibli determinantları da ardıcıl olaraq təyin etmək olar.
Məsələn, dördtərtibli
a11 a12 a13 a14 
A4 = a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
matrisinin ∆(A4) determinantını (dördtərtibli determinantı)
∆(A4) = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 + a14 A14 (6)
kimi təyin etmək olar. Burada A11, A12, A13 və A14 kəmiyyətləri dördtərtibli
∆(A4) = (7)
determinantının 1-ci sətir elementlərinin üçtərtibli determinantlar vasitəsilə ifadə olunan uyğun cəbri tamamlayıcılarıdır. (7) determinantını başqa sətir və ya sütun elementləri üzrə ayrılışlar vasitəsilə də təyin etmək mümkündür.
Bu mülahizələr əsasən n-tərtibli determinanta aşağıdaki kimi tərif vermək olar.
T ə r i f. (˃1) – tərtibli
a11 a12 ... a1n
An = . . . . . .
an1 an2 ... ann
matrisinin
a11 a12 ... a1n
∆(An) = . . . . . . .
an1 an2 ... an
determinantı (n-tərtibli determinant)
 k+1a 1k M 1k
və ya
∆(An) = 
ədədinə deyilir. Burada M1k ilə An matrisinin 1-ci sətrini və k - nömrəli sütunu pozmaqla alınan (1-n) - tərtibli matrisin determinantı işarə olunmuşdur.
Yuxarıda isbat olunan teorem göstərir ki, iki və üçtərtibli determinantlara əvvəlcə verdiyimiz təriflər bu təriflə n=2 və n=3 olduqda ekvivalentdir. Həmin teorem n-tərtibli determinantlar üçün də doğrudur:
T e o r e m 2. n-tərtibli ∆(An) determinantı və istənilən i (1 ≤ i ≤ n) və j (1 ≤ j ≤ n) üçün
 (8)
və
k+j a k j M k j (9)
bərabərlikləri deyilir.
(8) bərabərliyinə ∆(An) determinantının i – nömrəli sətir elementləri üzrə ayrılışı, (9) bərabərliyinə isə onun j – nömrəli sütun elementləri üzrə ayrılışı deyilir.
Misal 1. Vahid matrisin determinantə vahidə bərabərdir.
Doğrudan da,
İ2 =  olduqda ∆(İ2) = = 1,
İ3 =  olduqda ∆(İ3) = = 1,
İn= 0 1 ... 0
. . . . . .
0 0 ... 1
olduqda ∆(İn) = ∆(İn-1) = ∆(İn-2) = ... = ∆(İ2) = 1.
►Determinantın tərtibi artdıqca onun elementlərinin və hədlərinin sayı artır.
|
