Mühazirəçi : R. F. D. dosent Orucova Rəna Üzeyir qızı Ədəbiyyat

Üçməchullu üç xətti tənlik sistemi

şəklində yazıla bilər. b₁ = b₂ = b₃ = 0 olduqda (1) sistemindən bircinsli xətti tənliklər sistemi alınır. b₁, b₂, b₃ ədədlərinin heç olmasa biri sıfırdan fərgli olduqda (1) sisteminə bircinsli olmayan xətti tənliklər sistemi deyilir.

(1) sisteminin hər bir tənliyini doğru ədədi bərabərliyə (eyniliyə) çevirən x=0, y=0, z=0 qiymətlər çoxluğu həmin sistemin həlli adlanır. Sistemin həlli varsa, ona uyuşan, heç bir həlli olmadıqda isə ona uyuşmayan (uyuşan olmayan) sistem deyilir.

Verilmiş (1) sistemini həll etmək üçün həmin sistemin determinantını

ilə, determinantın a_ik elementinin cəbri tamamlayıcısını isə A_ik ilə işarə edək. (1) sisteminin birinci tənliyini A₁₁-ə ikinci tənliyini A₂₁-ə, üçüncü tənliyini A₃₁-ə vurub, alınan bərabərlikləri tərəf-tərəfə toplasaq

bərabərliyini aliriq. Determinantların sətir və sütun elementləri üzrə ayrılması xassəsinə görə:

∆ = a₁₁A₁₁ + a₂₁A₂₁ + a₃₁A₃₁,

0 = a₁₂A₁₁ + a₂₂A₂₁ + a₃₂A₃₁,

0 = a₁₃A₁₁ + a₂₃A₂₁ + a₃₃A₃₁.

Onda (2) bərabərliyi

∆ · x = b₁A₁₁ + b₂A₂₁ + b₃A₃₁

şəklində yazılar.

Eyni qayda ilə də (1) sisteminin tənliklərini əvvəlcə uyğun olaraq A₁₂, A₂₂, A₃₂ ədədlərinə, sonra da A₁₃, A₂₃, A₃₃ ədədlərini vurub alınan bərabərlikləri tərəf-tərəfə toplasaq

∆ · y = b₁A₁₂ + b₂A₂₂ + b₃A₃₂

və

∆ · z = b₁A₁₃ + b₂A₂₃ + b₃A₃₃

∆x = b₁A₁₁ + b₂A₂₁ + b₃A₃₁ ,

∆y = b₁A₁₂ + b₂A₂₂ + b₃A₃₂ , (3)

∆z = b₁A₁₃ + b₂A₂₃ + b₃A₃₃

sistemi alınır.

Mövzu 3

Hauss üsulu. Xətti tənliklər sisteminin matris şəklində

yazılması və həlli.

1.Qauss üsulunun mahiyyəti.

2. Matris üsulunun mahiyyəti.

1.Qauss üsulunun mahiyyəti.

Tutaq ki, xətti tənliklər sistemi verilmişdir:

Bu sistemin determinantı sıfırdan fərgli olduqda onu Kramer qaydası ilə həll etmək olar. Lakin bu halda n+1 sayda n-tərtibli determinant hesablamaq lazım gəlir ki, bu da bğyük hesablama işi tələb edir.

Verilmiş xətti tənliklər sistemində məchulların sayı tənliklərin sayına bərabər olmaqda, yəni sistem

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1mx_m = b₁,

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2mx_m = b₂,

. . . . . . . . . . . . . . . . (2)

a_n1x₁ + a_n2x₂ + ... + a_nmx_m = b_n,

şəklində olduqda isə onun həllinə Kramer qaydasına bilavasitə tətbiq etmək olmur.

+ x

+ ... + x

tənliyini sistemin ikinci tənliyindən tərəf-tərəfə çıxırıq. Aldığımız tənlikdə x₁ məchullu iətirak etmir:

Sonra sistemin birinci tənliyinin hər iki tərəfini ədədinə vuraraq tənliyi sistemin üçüncü tənliyindən tərəf tərəfə çıxırıq. Bu mühakiməni ardıcıl tətbiq etməklə (2) sistemini

şəklində sistemə götürmək olar. Aldığımız yeni sistemin 2-ci, 3-cü və s. tənliklərindən istifadə etməklə yuxarıda gğstərdiyimiz üsulla x₂ məchulunu da çox etmək olar. Bu mühakiməni ardıcıl olaraq tətbiq etməklə (2) sistemini ona ekvivalent olan

şəklində sistemə gətirmək mümkündür.

(4) sisteminə pilləvarı (və ya pillələr çəklində) sistem, a₁₁, aꞌꞌ₂₂, aꞌꞌ₃₃ və s. əmsallarına isə sistemin baş elementləri deyilir. Aydındır ki, sistemə Hauss üsülunun tətbiq oluna bilməsi üçün sistemin baş elementlərinin sıfırdan fərgli olması zəruri və kafi şərtdir.

Qeyd edək ki , (2) sisteminin çevrilməsi nəticəsində alınan (4) sistemi uyuşan və ya uyuşmayan ola bilər. Birinci halda (4) sistemini həll edərək (2) sisteminin axtarılan həlləri tapılır. (4) sistemi uyuşmayan olduqda(məsələn, sistemdə sol tərəfdəki bütün əmsalları sıfır olan, lakin sağ tərəfi sıfır olmayan 0 · x₁ + 0 · x₂ + ... + 0 · x_m = b, (b 0) şəklndə tənlik alındıqda ) (2) sistemi də uyuşmayan olar.

Qeyd edək ki, (4) sistemi uyuşan olduqda iki haldan ancaq biri mümkündür: həmin sistemin ya yeganə həlli var, ya da sonsuz sayda həlli var. Hesablama zamanı heç bir yuvarlaqlaşdırma aparılmayıbsa, onda Hauss üsülu ilə tapılmış həll dəqiq olur.

(2) sistemini Qauss üsulu ilə həll edərkən tənliklər üzərində aparılan əməllər bəzən onların əmsallarından düzəlmiş

matrisi üzərində aparmaq daha münasib olur.

Qauss üsulunu tətbiq etməklə aşağıdakı tənliklər sistemini həll edək:

x₁ + 2x₂ – 3x₃ + 2x₄ = 1,

2x₁ - x₂ – 2x₃ - 3x₄ = 2,

3x₁ + 2x₂ – x₃ + 2x₄ = -5, (5)

2x₁ - 3x₂ + 2x₃ + x₄ = 11.

Sistemin birinci tənliyinin hər iki tərəfini 2-yə vuraraq alınan bərabərliyi uyğun olaraq ikinci və dördüncü tənlikdən tərəf-tərəfə çıxaq; sonra da birinci tənliyin hər iki tərəfini 3-ə vuraraq alınan tənliyi 3-cü tənlikdən tərəf-tərəfə çıxaq;

tənliklər sistemini alırıq. Bu sistemin ikinci tənliyindən üçüncü tənliyini tərəf-tərəfə çıxsaq və alınan bərabərliyin hər iki tərəfini -1-rə vursaq, nəticədə (6) sistemini

tənliklər sistemi ilə əvəz etmiş oluruq. (7) sisteminin ikinci tənliyinin hər iki tərəfini əvvəlcə (+4)-ə, sonra da (+7)–yə vurub alınan bərabərlikləri uyğun olaraq üçüncü və dördüncü tənliklərlə toplasaq

tənliklər sistemini alırıq. Həmin üsulla bu sistemi də

şəklində gətirmək olar.

= -

= - , x

= - , x

=

həllini (əvvəlcə axırıncı tənlikdən x₄, sonra üçüncü tənlikdən x₃ və s. tapılır)

Qeyd edək ki, (5) sistemini Kramer qaydası ilə həll etmək üçün dördtərtibli 5 determinant hesablamaq lazım idi.

2. Matris üsulunun mahiyyəti.

Tutaq ki, n məchullu n xətti tənliklər sistemi verilmişdir

və məchulların əmsallarından düzəlmiş əsas matrisin

determinantı sıfırdan fərglidir.

(1) sistemini ona ekvivalent olan matris tənliyi ilə əvəz edək.

AX = B , (3)

Burada A – sistemin əsas matrisi, X və B osə sütun-matrislərdir.

Buradan üç matrisin hasilinin xassəsini və A^-1A = I (burada I vahid matrisdir) olduğunu nəzərə alsaq onda

Nəticədə, (4) düsturundan alırıq ki,

Beləliklə, isbat etdik ki, (3) matris tənliyinin həlli varsa, onda o (5) münasibəti ilə birqiymətli təyin edilir.

Asanliqla yoxlamaq olar ki, (5) münasibəti ilə təyin edilən X sütunu doğrudan da (3) matris tənliyinin həllidir, yəni bu tənliyi eyniliyə çevirir. Doğrudan da, əgər X matrisi (5) münasibəti ilə təyin edilirsə, onda

AX = A(A^-1B) = AA^-1B = IB = B.

Deməli, əgər A matrisinin determinantı sıfırdan fərgli olarsa, onda (5) münasibəti ilə təyin edilən (3) matris tənliyinin yeganə həlli vardır.