2. Biroyuqlu hiperboloid kanonik tənliyi
olan ikitərtibli səthə deyilir.
3. İkioyuqlu hiperboloid kanonik tənliyi
olan ikitərtibli səthə deyilir.
4. Konus kanonik tənliyi
olan ikitərtibli səthə deyilir.
5. Elliptik paraboloid kanonik tənliyi
olan ikitərtibli səthə deyilir.
6. Hiperbolik paraboloid kanonik tənliyi
olan ikitərtibli səthə deyilir.
Mövzu 9
Funksiyanın tərifi, təyin və qiymətlər oblastı.
1. Funksiyanın tərifi, təyin və qiymətlər oblastı.
2. Funksiyanın verilməsi üsulları.
3. Əsas elementar funksiyaların xassələri.
4. Sonsuz azalan və sonsuz böyüyən kəmiyyətlər, xassələri.
1. Funksiyanın tərifi, təyin və qiymətlər oblastı.
►Verilmiş x və y dəyişən kəmiyyətləri bir-birindən asılı olmayaraq istənilən qiymətləri ala bilirsə, yəni birinin aldığı qimətlər, o birinin aldığı qiymətlər alıb-almamasından asılı deyilsə, onlara asılı olmayan və ya sərbəst dəyişən kəmiyyətlər deyilir. Aydındır ki, belə dəyişən kəmiyyətləri ayırdıqda öyrənməyin heç bir mənası yoxdur. Buna görə də riyaziyyat elmində asılı olan dəyişən kəmiyyətlər öyrənilir.
Funksiya
Y = y(x), y = f(x), y = φ(x), y = F(x), ...
və s. şəklində göstərilir. Bu ifadələrdəki f, φ, F ... hərfləri hansı qanun və ya qaydalar vasitəsilə x-in verilmiş qiymətinə y-in uyğun qiymətinin qarşı qoyulmasını göstərir.
Bu halda x-ə sərbəst dəyişən və ya arqument, y-ə isə funksiyanın asılı dəyişəni və ya qiyməti deyilir. X çoxluğuna funksiyanın təyin oblastı, Y şoxluğuna isə onun qimətləri çoxluğu deyilir.
f(X) ilə Y çoxluğunu işarə edək ki, onların hər biri y=f(x) funksiyasının heç olmazsa bir xX nöqtəsində aldığı qiymət olsun. Aydındır ki, f(X) Y, vəya f(X), Y çoxluqları bərabər olmaya da bilər.
Xüsusi halda, f(X) = Y olarsa, onda deyirlər ki, y = f(x) funksiyası X çoxluğunu Y çoxluğu üzərində inikas etdirir. Bu halda istənilən x1 x2 ( x1X, x2 X) üçün f(x1) f(x2) olarsa, onda X çoxluğunun Y çoxluğuna y = f(x) inikasına qarşılıqlı birqiymətli inikas deyilir.
X çoxluğu ədədi çoxluq olduqda f(x) funksiyasına həqiqi dəyişənli funksiya deyilir.
►Fərz edək ki, Y = f(x) funksiyası  parçasında təyin olunmuşdur. y = f(x) funksiyasının parçasındakı qiymətlərini həndəsi göstərən bütün nöqtələrin həndəsi yeri həmin funksiyanın həndəsi göstərilişi və ya parşasında qrafiki adlanır. Başqa sözlə, absisləri arqumentin qiymətləri, ordinatları isə funksiyanın arqumentin həmin qiymətlərinə uyğun qiymətləri olan M (x, y) nöqtələrinin həndəsi yerinə y = f(x) funksiyasının qrafiki deyilir.
Təyin oblasıparçası (və ya hər hansı sonsuz çoxluq) olan funksiyanın qrafikini praktiki olaraq qurmaq üçün onun bütün qiymətlərinihəndəsi göstərən nöqtələri tapmaq mümkün olmur.
Buna görə də verilmiş funksiyanın qrafiki ya onun müəyyən xassələrinə əsasən və ya da qrafik üzərində yerləşən sonlu sayda Mk (xk , yk ) ( k=  ) nöqtələrini tapıb inları bütöv xətlə birləşdirərək təqribi qurulur.
►Funksiya analitik üsulla verildikdə iki hal ola bilər: x (arqument) və y (funksiya) arasındakı asılılığı ifadə edən riyazi düstur riyazi düstur y-ə nəzərən həll olunmuş şəkildə, yəni y = f(x) şəkildə verilə bilər. Bu halda funksiya aşkar şəkildə verilmişdir deyilir.
x və y arasındakı asılılığı ifadə edən riyazi düstur y-ə nəzərən həll olunmamış şəkildə, yəni
F(x, y) = 0 (1)
şəklində verildikdə, deyirlər ki, y = y(x) və ya y = f(x) funksiyası qeyri-aşkar şəkildə verilmişdir. Bu halda təyin olunan y = y(x) funksiyasına qeyri-aşkar funksiya deyilir.
Misal 1. 3x – y + 2 = 0 tənliyi ilə y dəyişəni x-in qeyri-aşkar funksiyası kimi verilmişdir. Həmin tənliyi y-ə nəzərən həll edərək funksiyanı
y = 3x + 2
kimi aşkar şəklə gətirmək olur.
Misal 2. x2 + y2 + 5 = 0 tənliyi heç bir funksiyanı təyin etmir. x-in həqiqi qiymətlərində y-in bu tənliyi ödəyən heç bir həqiqi qiyməti yoxdur.
►Funksiyanın analitik üsulla verilməsini bir yolunu da göstərək.
Tutaq ki, x (arqument) və ya y (funksiya) dəyişənləri başqa bir t dəyişəninin aşkar funksiyası şəklində verilmişdir:
 t T (2)
t-nın T çoxluğundakı hər bir to qiymətinə (2) münasibəti vasitəsilə x və y-ın xo =  ( to ) və yo = (to) qiymətləri uyğun qoyulur. Bu ədədlərin ikincisini birincisinə qarçı qoysaq
xo yo (3)
onda y dəyişəni x-ın funksiyası kimi təyin olunar. Aydındır ki, (2) münasibəti bir və ya bir neçə funksiyanı yəyin edə bilər.
Funksiyanın belə üsulla verilməsi onun parametrik şəkildə verilməsi, t-yə isə parametr ideyilir.
Misal 3.
  (4)
parametrik şəklində verilmiş funksiya y = fo(x) olsun. (4) münasibətinin təyin etdiyi yeganə funksiyanın aşkar ifadəsini almaq üçün həmin münasibətdən t-nı yox etmək lazımdır:
y = 3x + 7.
Deməli, fo (x) = 3x + 7.
Ümümiyyətlə, (2) bərabərliklərinin birincisindən t parametrini tapıb ikincisində yerinə yazsaq, onda funksiyanın y = f(x) işəklində ifadəsini alırıq.
►Tutaq ki, x = φ(t) funksiyası T çoxluğunda təyin olunmuşdur və onun qiymətləri çoxluğu y = f(x) funksiyasının X təyin oblastına daxildir. Bu halda, t-nın T çoxluğundakı hər bir qiymətinə y-ın müəyyən bir qiyməti uyğun olur, yəni y dəyişəni (x vasitəsilə) t-nın funksiyasıdır:
y = f  . (5)
Bu halda alınan f funksiyasına mürəkkəb funksiya və ya funksiyanın funksiyası deyilir.
x =  və y = f(x) funksiyalarından düzəldilmiş (5) mürəkkəb funksiyasına bəzən həmin x = (daxili) və y=ƒ(x) (xarici) funksiyanın superpozisiyası da deyilir.
Misal 4. y= sinx və x = t4 olduqda bir ara arqumenti olan
y = sin t4
mürəkkəb funksiyası alınır.
Misal 5. Y = sin u, u = lg x və x = t4 olduqda
y = sin lg t4
mürəkkəb funksiyasının iki ara arqumenti (u və x) vardır.
►Tutaq ki, y = f(x) funksiyası X =  çoxluğunda təyin olunmuşdur. onun qiymətləri hər hansı Y =  çoxluğunu təşkil edir. Funksiyanın tərifinə görə x arqumentinin X çoxluğundakı hər bir xo qiymətinə y dəyişənin Y çoxluğundan bir yo qiyməti uyğun olur. Lakin ixtiyari yo Y ədədi üçün x arqumentinin çoxluğunda
yo = f(xo) (6)
bərabərliyini ödəyən ancaq bir xo qiymətinin varlığı həmişə demək mümkün deyildir.
Misal 6. X çoxluğunda təyin olunmuş y = f(x) funksiyasının qiymətləri çoxluğu Y olsun. Y-ın Y çoxluğundakı hə bir yo qiymətinə x-ın çoxluğundan (6) bərabərliyini ödəyən ancaq bir xo qiyməti uyğun olarsa (yəni, y = f(x) funksiyası X çoxluğunu Y çoxluğuna qarşılıqlı birqiymətli inikas etdirirsə), bu uyğunluqla Y çoxluğunda təyin olunan x = φ(y) funksiyasına y = f(x) funksiyasının tərs funksiyası deyilir. Aydındır ki, y = f(x) funksiyasında da x = φ(y) funksiyasının tərs funksiyası hesab etmək olar. Buna görə də çox zaman y = f(x) və x = φ(y) funksiyalarına qarşılıqlı tərs funksiyalar deyilir. Bu funksiyaların birincisini düz funksiya hesab etsək, o birisi bunun tərs funksiyası olar. Tərifə əsasən
f = y və x = φ  (7)
bərabərlikləri doğrudur.
Misal 7. y = 2x + 3 funksiyasının tərs funksiyası
x = 
olacaqdır.
2. Funksiyanın verilməsi üsulları.
►Tərif. Dəyişmə oblastları uyğun olaraq X və Y olan iki x və y dəyişən kəmiyyətini götürək.Hər-hansı ƒ qayda və ya qanun vasitəsilə dəyişən x kəmiyyətinin X dəyişmə oblastındakı hər bir qiymətinə, dəyişən y kəmiyyətinin müəyyən bir qiymətini uyğun və ya qarşı qoymaq mümkündürsə, onda X çoxluğundan Y çoxluğuna funksiya verilmişdir deyilir və y=ƒ(x) ilə göstərilir.
x-ə sərbəst dəyişən və ya arqument, y-ə isə funksiyanın asılı dəyişəni və ya qiyməti deyilir. X çoxluğuna funksiyanın təyin oblastı, Y çoxluğuna isə onun qiymətləri çoxluğu deyilir.
y=ƒ(x) ƒ- sı o zaman verilmiş, məlum və ya təyin olunmuş hesab edilir ki;
1) funksiyanın təyin oblastı, yəni x arqumentinin ola bildiyi qiymətlər çoxluğu göstərilsin;
2) x-in hər bir qiymətinə y-in müəyyən bir qiymətini uyğun qoyma qanunu, yəni x və y arasındakı uyğunluq qanunu göstərilsin.
Funksiya əsasən analitik üsulla, cədvəl şəklində, qrafiki üsulla və proqram vasitəsilə verilir.
3. Əsas elementar funksiyaların xassələri.
►Xətti funksiya.
y = kx + b
şəklində olan funksiyaya xətti funksiya deyilir, burada k və b həqiqi ədədlərdir.
Xətti funksiyanın təyin oblastı bütün ədəd oxudur, qrafiki isə düz xətdir. Düz xəttin absis oxunun müsbət istiqaməti ilə əmələ gətirdiyi bucağa həmin düz xəttin absis oxuna meyl bucağı deyilir. Düz xəttin absis oxuna φ meyl bucağının tangensi, yəni tg φ onun (düz xəttin) bucaq əmsalı adlanır. Absis oxuna paralel olan düz xəttin bucaq əmsalı sıfra bərabərdir.
buradan aydındir ki, k = tg φ.
►Qüvvət, üstlü və loqarifmik funksiyalar.
1. y =  ( həqiqi ədəddir) funksiyasına qüvvət funksiyası deyilir. Bu funksiyanın varlıq oblastı ədədindən asılıdır. tam müsbət ədəd olduqda funksiyanın varlıq oblastı bütün ədəd oxu, yəni (- intervalı, natural cüt ədəd olduqda funksiyanın qiymətləri çoxluğu  yarımintervalı, tək olduqda isə ( intervalı olar.
tam mənfi ədəd olduqda y =  funksiyası x-ın x=0 qiymətindən başqa yerdə qalan bütün həqiqi qiymətlərində, yəni
 , 0) + (0, ) (1)
Çoxluğunda təyin olunmuşdur.
2. y = ax (a0, a1) funksiyasına üstlü funksiya deyilir. Bu funksiyanın varlıq oblastı (- intervalı \, qiymətlər çoxluğu isə (0, ) intervalıdır.
a-nın vahiddən kiçik və bahiddən böyük qiymətlərində y = ax funksiyasının qrafiki 2-ci və 3-cü şəkillərdə göstərilmişdir.
3. y = log a x (a0, a1) funksiyasına loqarifmik funksiya deyilir.
Bu funksiyanın varlıq oblastı (0, ) intervalı, qiymətləri çoxluğu isə (- ) intervalıdır.
Loqarifmik funksiyasının qrafiki 4-cü şəkildə göstərilmişdir.
►Triqonometrik funksiyalar.
Triqonometrik funksiyaların həndəsi tərifi orta məktəbin riyaziyyat kursundan məlumdur. Bu tərifə görə
y = sin x, y =cosx, y=tgx, y=ctg x (2)
triqonometrik funksiyaları bucağın və eləcə də qövsün funksiyalarıdır.
Hər bir həqiqi x ədədinə, triqonometrik funksiyaların həmin ədədlə ölçülən bucağına uyğun qiymətini qarşı qoya bilərik
x f() = f(x)
sin x və cos x funksiyalarının varlıq oblastı bütün həqiqi ədədlər çoxluğu: (- intervalı, qiymətləri çoxluğu isə  parçasıdır.
tg x və ctg x funksiyalarının qiymətləri çoxluğu bütün həqiqi ədədlər çoxluğudur.
| 