| 4. Sonsuz azalan və sonsuz böyüyən kəmiyyətlər, xassələri.
Fərz edək ki,  və  , a nöqtəsinin (a sonlu nöqtə və ya (-) , (), simvollarından biri ola bilər) hər hansı ətrafında (a nöqtəsi müstəsna olmaqla) təyin olunmuş funksiyalardır.
►Tərif 1. əgər a nöqtəsinin hər hansı ətrafında
c (xa) (1)
Bərabərsizliyini ödəyən sabit (x-dən asılı olmayan) c0 ədədi olarsa, onda funksiyasına -ə nəzərən xa şərtində məhdud funksiya deyilir və
= O ( ) (xa) (2)
şəklində yazılır (belə oxunur: “ bərabərdir O böyük “ ).
Xüsusi halda, = O (1) (xa) münasibəti funksiyasının xa olduqda məhdud olmasını göstərir.
Misal 1. Aşağıdakı bərabərliklər doğrudur:
x2 = O (xn) (x1),
sin x = O (1) (x0),
x3 = O (x) (x1).
►Tərif 2. Əgər
= (x) ·  (x) ,  (3)
olarsa, onda funksiyasına (x)-ə nəzərən xa şərtində sonsuz kiçilən funksiya deyilir və
= o ( (x) ) (xa) (4)
şəklində yazılır “ bərabərdir o kiçik “ kimi oxunur )
xüsusi halda, = o (1) (xa) münasibəti funksiyasının xa şərtində sonsuz kiçilən olmasını göstərir.
►Tərif 3. (x) funksiyasının xa şərtində sonsuz kiçilən funksiya olarsa və
= (x) (x) , (5)
münasibətləri ödənilirsə, onda  sonsuz kiçilən (x) sonsuz kiçiləninə nəzərən yüksək tərtibli sonsuz kiçilən funksiya deyilir. Bu halda, (x) sonsuz kiçiləni isə sonsuz kiçiləninə nəzərən aşağı tərtibli sonsuz kiçilən funksiya adlanır.
(x) 0 (x0) olduqda, yenə də bu tərifdə (5) əvəzinə  = 0 bərabərliyini götürmək olar.
►Tərif 4. Əgər  nisbətinin xa şərtində sıfırdan fərgli sonlu limiti varsa, yəni = A 0 olarsa, onda və (x) sonsuz kiçilənlərinə eynitərtibli sonsuz kiçilən funksiyalar deyilir.
►Tərif 5.  = A 0 olduqda sonsuz kiçiləninə (x) sonsuz kiçilən funksiya deyilir.
►Asimptotik bərabərliklər.
Burada eynitərtibli sonsuz kiçilənlərin mühüm bir xüsusi halını ayrıca öyrənəcəyik.
Fərz edək ki, və (x), a nöqtəsinin hər hansı ətrafında (a nöqtəsi müstəsna olmaqla) təyin olunmuş, sıfırdan fərgli və xa şərtində sonsuz kişilən funksiyalardır.
►Tərif 1. = 1 olduqda və (x) sonsuz kiçilənlərinə ekvivalent və ya asimptotik bərabər sonsuz kiçilən funksiyalar deyilir və
(x) (xa) (6)
şəklində işarə olunur.
Asimptorik bərabərliyin bir sıra sadə xassələrini qeyd edək:
1)  (xa),
2) (x) (xa) olduqda (x) (xa)
3) (x) (xa) və (x)  (xa) olduqda
(xa).
►Teorem 1. a nöqtəsinin hər hansı ətrafında (a nöqtəsi müstəsna olmaqla) təyin olunmuş və (x) funksiyalarının xa şərtində asimptorik bərabər olması üçün
= (x) + o ( (x) ) (xa), (x) 0,(x0) (7)
münasibətlərinin ödənilməsi zəruri və kafi şərtdir.
►Tərif 2. Əgər və (x) funksiyaları xa şərtində sonsuz kiçilən funksiyalardırsa və
= (x) + o ( (x) ) (8)
göstərilişi doğrudursa, onda (x) sonsuz kiçiləninə sonsuz kiçiləninin baş hissəsi deyilir.
Mövzu 10
|
