Kompleks ədədlər, onların yazılış forması.
1. Nizamlı ədədlər cütlüyü və onlar üzərində əməllər.
2. Kompleks ədəd anlayışı. Kompleks ədədin cəbri forması.
3. Kompleks ədədlər. Onlar üzərində əməllər.
4. Kompleks ədədin triqonometrik forması.
5. Muavr düsturu. Eyler düsturu.
1. Nizamlı ədədlər cütlüyü və onlar üzərində əməllər.
Həqiqi a və b ədədlərinin hansının birinci hansının ikinci olduğunu göstərən (a, b) cütlüyü nizamlanmış adlanır. Məsələn, (0,1), (2,3), (3,2). Qeyd edək ki, eyni rəqəmlərdən təşkil olunmalarına baxmayaraq axırıncı iki cütlük müxtəlifdirlər.
Hər bir cütlüyü bir hərflə işarə edərək onların bərabərliyi anlayışını, onlar üzərində əməlləri verək. İki nizamlı cütə baxaq.
 (1)
Əgər a = c və b = d olarsa bu cütlər bərabər adlanır.
 (2)
(1)-dəki nizamlı cütlərin cəmi
 (3)
hasili isə
 (4)
(3)-dən aydındır ki,
 (5)
istənilən cütlə cəmi əvvəlki cütə bərabərdir.
(5) sıfır cütlük adlanır və nizamlı cütlər üçün sıfır rolu oynayır.
Tərif.  fərqi elə nizamlı  cütünə deyilir ki,  olsun.
 (6)
Tərif. Əgər  isə və  isə  nisbəti
 (7)
formulu ilə təyin olunur. Bu formuldan aydındır ki, əgər  isə yəni  isə, onda
deməli vahid rolunu
 (8)
nizamlı cütü oynayır.
a = (a, 0) və b = (b, 0) (9)
nizamlı cütlərinə baxaq. (9) şəkilli nizamlı cütlər üzərində hesab əməlləri həqiqi ədədlər üzərində olduğu kimi aparılır. Həqiqi ədədlər (9) cütləri şəklində verilir.
2. Kompleks ədəd anlayışı. Kompleks ədədin cəbri forması.
a və b həqiqi ədədlərindən təşkil olunmuş nizamlı (a, b) cütlüyü kompleks ədəd adlanır.
i = (0, 1) (10)
nizamlı cütünə baxaq. (4)-ü tətbiq etsək alarıq,
 .  olduğu üçün
 (11)
(11)-i ödəyən (10) nizamlı cütlüyü xəyali vahid adlanır. Xəyali vahidin köməyilə istənilən  kompleks ədədi, yəni nizamlı həqiqi ədədlər cütlərini göstərmək olar.
 , onda  yəni
 (12)
 .
Deməli, (12)-də toplananları yerini dəyişmək olar.  – kompleks ədədin cəbri forması adlanır. a – həqiqi hissə, b – xəyali hissə,  .
Tərif. Əgər b = 0 olarsa  – həqiqi ədəd a = 0,  , bi – təmiz xəyali ədəd adlanır.  kompleks ədədləri yalnız a = c, b = d olduqda bərabər hesab edilir.
 isə  -nın qoşması adlanır və -lə işarə olunur.   . i simvolunu 1777-ci ildə Eyler daxil etmişdir.
►Kompleks ədədlər üzərində əməllərin xassələri.
1)  2)  , 3)  ,
4)  , 5)  .
► Kompleks ədədlərə,  tənliyinə baxmaqla başlayaq. Aydındır ki, bu tənliyin həqiqi kökü yoxdur. Bu tənliyin kökü kompleks ədəddir.
 (1) ifadəsi kompleks ədəd adlanır. Burada x, y – həqiqi ədədlər, i – xəyali vahid adlanır və  bərabərliyi ilə təyin olunur.
x, y həqiqi ədədləri z kompleks ədədinin uyğun olaraq həqiqi və xəyali hissələri adlanır və  (Re – realis həqiqi. Im – imaginaris – xəyal).
 həqiqi ədədləri göstərir, yəni hər bir həqiqi ədədə xəyali hissəsi sıfır olan kompleks ədəd kimi baxmaq olar.  şəklində kompleks ədədə sırf xəyali ədəd deyilir.
z ədədinin qoşması  kompleks ədədinə deyilir.  olduğu üçün z və ədədləri qarşılıqlı qoşma kompleks ədədlər adlanır.
1)  və  kompleks ədədi yalnız və yalnız,  və  olduqda bərabər hesab edilir.
2)  yalnız və yalnız o vaxt olur ki,  olsun.
3. Kompleks ədədlər. Onlar üzərində əməllər.
►Cəbri formada verilmiş kompleks ədədlər üzərində əməllər.1.  və  kompleks ədədlərinin cəmi
1) ilə təyin edilir. Kompleks ədədlərin toplanması üçün yerdəyişmə və quruplaşma xassələri doğrudur.
 ,
 .
2) .
3) Vurulması ikihədliləri vurulma qaydası ilə yerinə yetirin, bu zaman  və s. nəzərə almaq lazımdır ki,
 .
 .
 .
Yerdəyişmə, quruplaşdırma və paylama qanunları doğrudur.
4) Bölünməsi:
z1 = a1+ib1, z2 = a2+ib2,  =  .
Onda
4. Kompleks ədədin triqonometrik forması.
Hər bir  kompleks ədədini Oxy müstəvisində koordinatları a, b olan  nöqtəsi kimi göstərmək olar. Tərsinə, müstəvidə hər bir  nöqtəsinə kompleks ədədi uyğundur. Kompleks ədədlər təsvir edilmiş müstəvi z dəyişəni kompleks müstəvi adlanır.
Kompleks müstəvi üzərində absis oxuna həqiqi ox, ordinat oxuna isə xəyali ox deyilir.
Ox oxu üzərində yerləşən nöqtə (b = 0) həqiqi ədəd oy oxu üzərindəki nöqtə isə sırf xəyali ədədi göstərir. A(a, b) nöqtəsini koordiqnat başlanğıcı ilə birləşdirsək  vektorunu alırıq. Həndəsi olaraq kompleks ədədini vektoru ilə göstərmək olar.
Koordinat başlanğıcını polyus, ox-in müsbət istiqamətini polyar ox qəbul edərək, A(a, b) nöqtəsinin polyar koordinatlarını və  ilə işarə edək, onda aşağıdakı bərabərlikləri yaza bilərik.  , nəticədə
 (2)
və ya
 (3)
alarıq. (3) kompleks ədədin triqonometrik şəkli adlanır. r – kompleks ədədinin modulu, – arqumenti adlanır və belə işarə edilir.
 (4)
r və , a və b ilə  , beləliklə
 və  (5)
(3)-də  götürülür. kəmiyyəti isə  ( tam ədəddir) həddinə qədər dəqiqliklə təyin olunur.   kəmiyyəti çoxqiymətlidir.
Buna görə də çox vaxt -in baş qiymətini ayırmaq lazım gəlir. -in  (5)-nın müəyyən qiymətini onun baş qiyməti deyilir və  ilə işarə olunur. z ədədi müsbət həqiqi ədəd olduqda  , mənfi həqiqi ədəd olduqda isə  olar.
Qeyd.  və  qoşma kompleks ədədləri üçün  , arqumentləri isə  . A həqiqi ədədi (3) şəklində yazıla bilər.
olar. Kompleks 0 ədədin modulu 0-dır. , arqument isə  bucağı götürülə bilər.
 .
►Fərz edək ki,  , onda hasil üçün alırıq:
olar.
►Triqonometrik şəkildə verilibsə, onda qismət üçün alırıq:
 .
Qeyd. Kompleks ədədlərin üzərində əməllər nəticəsində kompleks ədəd alınır.
►Qüvvətə yüksəltmə üçün alırıq:
► Kökalma üçün alırıq:
5. Muavr düsturu. Eyler düsturu.
►Qüvvətə yüksəltmə düsturunda r=1 olan halda, həmin düstura Muavr düsturu deyilir.
.
Misal.
►Eyler düsturu. Kompleks ədədlər üçün Eyler düsturu
(1)
münasibətinə deyilir. Bu düsturun doğruluğu gələcəkdə sıralar nəzəriyəsində isbat ediləcək. (1)-dən istifadə edərək
(2)
münasibətini
(3)
kimi yaza bilərik və ya
(4)
(3) ifadəsi z kompleks ədədin üstlü şəkli adlanır.
(5)
olar.
(1) və (5)
və (6)
(6) düsturları kompleks ədədin triqonometrik və üstlü formaların arasındakı əlaqəni əks etdirir.
Mövzü 17
Çoxhədlinin vuruğlara ayrılması.
1. Çoxhədli anlayışı və köklər haqqında əsas teoremlər.
2. Çoxhədlinin təkrarlanan köklər haqqında.
3. Həqiqi əmsallı çoxhədlinin həqiqi vuruqlara ayrılması.
1. Çoxhədli anlayışı və köklər haqqında əsas teoremlər.
(1) funksiyası n dərəcəli çoxhədli (polnom) adlanır. n çoxhədlinin dərəcəsidir. – həqiqi və ya kompleks ədədlərdir. x – dəyişəni həm həqiqi və həm də kompleks qiymətlər ala bilər. x dəyişəninin çoxhədlini 0-a çevirən qiymətinə çoxhədlinin kökü deyilir.
Teorem 1. (Bezu). f(x) çoxhədlisini x– a fərqinə böldükdə alınan qalıq f(a)-ya bərabərdir.
İsbatı. f(x)-i -ya böldükdə natamam qismət  f(x)-in dərəcəsindən bir vahid az olar. Qalıq isə sabit R ədədi olar. Beləliklə
. Bu bərabərlik x-in bütün qiymətlərində ( olduqda) doğrudur.
-ə keçsək
sol tərəf -ya sağ tərəf isə R-ə bərabər olar.
Yəni f(a) = R olar.
Nəticə. Əgər a çoxhədlinin kökü isə yəni isə, onda f(x) -ya qalıqsız bölünür və nəticədə  .
çoxhədlisi n dərəcəli olanda, tənliyinə n dərəcəli cəbri tənlik deyilir. Hər bir cəbri tənliyin kökü varmı?
Teorem 2. (Cəbrin əsas teoremi) Hər bir cəbri tənliyin () heç olmasa bir həqiqi və ya kompleks kökü vardır.
Cəbri olmayan tənliklər üçün bu doğru deyildir. Məsələn cəbri olmayan tənliyin heç bir kökü yoxdur.
Teorem 3. Hər bir n dərəcəli çoxhədlisi n sayda x–a şəkilli xətti vuruğun və -in əmsalının hasili şəklində, yəni
şəklində göstərilə bilər.
İsbatı. Fərz edək ki, n – dərəcəli çoxhədli verilib.
Bu çoxhədlinin cəbrin əsas teoreminə görə heç olmasa bir kökü var. Onu -lə işarə edək. Onda Bezu teoreminə görə
. Burada 
dərəcəli çoxlhədlidir. yenə cəbrin əsas teoreminə görə kökü var. Onu -i ilə işarə edək
, dərəcəli çoxluqdur. Analoji olaraq proses davam etdirsək  alarıq. – sıfır dərəcəli çoxhədlidir. Bu ədəd aydındır ki, əmsalı yəni -a bərabərdir. Nəticədə
(*) yaza bilərik.
(*) n – dərəcəli çoxlhədlini n-dən çox müxtəlif kökü ola bilməz.
Teorem 4. Əgər n – dərəcəli və çoxhədlilərinin qiymətləri arqumentin sayda müxtəlif qiymətlərində üst-üstə düşürsə, onda həmin çoxluqlar eyniliklə bərabərdirlər. .
Teorem 5. Əgər çoxhədlisi eyniliklə sıfır isə, onda onun bütün əmsalları sıfra bərabərdir.
Teorem 6. Əgər iki çoxhədli eyniliklə bir-birinə bərabər isə, onda bir çoxhədlinin əmsalları o biri çoxhədlinin uyğun əmsallarına bərabərdir.
| 