Teorem.  funksiyası x=x0 nöqtəsində diferensiallanandırsa və  olarsa onda onun tərs funksiyası  uyğun y0 nöqtəsində  diferensiallanandır və onun törəməsi
 (1)
düsturu ilə hesablanır.
İsbatı. Əvvəlcə qeyd edək ki, tərs funksiyanın tərifinə əsasən:
 .
Onda tərs funksiya üçün:
bərabərliyini yazmaq olar.
Tərs funksiya kəsilməz olduğundan  şərtində  olur. Buna görə də:
 (2)
Bu düsuru
 (3)
şəklindədə yazmaq olar.
3 Parametrik və qeyri-aşkar funksiyaların törəməsi.
►Parametrik şəklində verilmiş funksiyanın törəməsi.
Teorem. Əgər və  funksiyalarının törəmələri varsa və  olarsa onda funksiyası diferensiallanandır və onun törəməsi
 və ya  (1)
düsturu ilə hesablanır.
İsbatı. Həqiqətən də y = ᴪ(t) bərabərliyini x nəzərən diferensiallasaq və sağ tərəfi x-ın mürəkkəb funksiyası hesab etsək alarıq:
 (2)
kəmiyyətini tərs funksiyanın diferensiallanması qaydasına əsasən x = φ(t) funksiyasından tapmaq olar:
 . (3)
Tapdığımız qiyməti (2) bərabərliyinə terinə yazsaq tələb olunan
düsturunu alırıq.
►Qeyri-aşkar funksiyanın törəməsi.
Tutaq ki, y = y(x) qeyri-aşkar funksiyası
F(x , y) = 0 (1)
tənliyi vasitəsi ilə verilmişdir. Bu funksiyanın analitik ifadəsini aşkar şəkildə tapmadan onun müxtəlif tərtibli törəmələrini tapmaq bəzən mümkün olur. Bu məqsədlə (1) bərabərliyinin hər iki tərəfini x-ə görə diferensiallayırlar və y dəyişəni x dəyişəninin funksiyası olduğunu nəzərə alırıar. Alınan bərabərliyini yꞌ törəməyə nəzərən həll edərək yꞌ törəməsini tapırlar.
Bu prosesi dəvam etdirməklə funksiyanın iki, üç və s. tərtibli törəmələrini tapmaq olar.
Misal.
ax2 + by2 = 2 (2)
tənliyi ilə təyin olunan y = y(x) funksiyasının birinci törəməsini tapın.
Qaydaya uyğun olaraq tənliyin hər iki tərəfini x dəyişəninə nəzərən törəməsini alaq (unutmuruq ki, y dəyişən x-ın funksiyasıdır):
2ax + 2by · y ꞌ = 0, (3)
y ꞌ =  (4)
Birdəyişənli funksiyanın diferensial hesabı.
Mövzu 13
Diferensial hesabının əsas teoremləri.
1. Roll, Lagranj, və Koşi teoremləri.
2. Qeyri-müəyyənliklərin açılışı, Lopital qaydası.
3. Teylor düsturu.
1. Roll, Lagranj, və Koşi teoremləri.
►Roll teoremi.  -da kəsilməyən , (a,b) intervalında diferensiallanan və həmin parçanın uc nöqtələrində bərabər  qiymətləri alan funksiyası üçün həmin (a, b) intervalında yerləşən heç olmasa bir elə nöqtəsi var ki, bu nöqtədə funksiyanın  törəməsi sıfıra bərabərdir. Yəni 
►Laqranj teoremi. -da kəsilməyən və (a,b) intervalında diferensiallanan funksiyası üçün həmin intervalında yerləşən elə nöqtəsi var ki, bu nöqtədə
 (1)
bərabərliyi ödənilir. (1) bərabərliyinə Laqranj düsturu və ya sonlu artımlar düsturu deyilir.
Isbatı ; -da təyin olunmuş
 (2)
funksiyasına baxaq. F(x) funksiyası -da kəsilməyəndir, (a,b) intervalında diferensiallanandır və parçanın uc nöqtələrində bərabər qiymətlər alır.
Onda Roll teoreminə görə onun
törəməsi bir  nöqtələrində sıfra bərabər olar;
Buradan (1) bərabərliyi alınır.
► Koşi teoremi. Tutaq ki,  və  funksiyaları -da kəsilməyən , (a,b) intervalında diferensiallanan və həmin intervalın bütün nöqtələrində  şərtini ödəyən funksiyalardır. Onda (a,b) intervalında yerləşən elə nöqtəsi var ki, bu nöqtədə
 (1)
bərabərliyi ödənilir.
|
