I.  inteqralına baxaq, burada R – öz arqumentlərinin rasional funksiyasıdır.
Tutaq ki, k ədədi  kəsrlərinin ortaq məxrəcidir.   əvəzləməsi aparaq. Onda x-ın hər bir kəsr üstlü qüvvəti
t-nin tam qüvvəti ilə ifadə olunar və deməli, inteqralaltı funksiya t-nin rasional funksiyasına çevrilər.
II. İndi
şəklində inteqrala baxaq. Bu inteqral
əvəzləməsinin köməyi ilə t-nin rasional funksiyasının inteqralına gətirilir, burada k ədədi kəsrlərinin ümumi məxrəcidir.
4.  ( ) şəklində inteqrallar.
Belə inteqrallar aşağıdakı Eyler əvəzləmələrinin köməyi ilə yeni dəyişəninin rasional funksiyasının inteqralına gətirilir.
1. Eylerin birinci əvəzləməsi. Əgər  olarsa,
əvəzləməsini qəbul edirik. Müəyyənlik üçün -nın işarəsini müsbət götürək. Onda
olar. Buradan isə x dəyişəni t-nin rasional funksiyası kimi tapılır:
(deməli, dx də t ilə rasional şəkildə ifadə olunar). Buna görə  ifadəsi t-nin rasional funksiyası olur
Beləliklə, , x və dx ifadələri t vasitəsi ilə rasional şəkildə göstərilir; deməli, verilmiş inteqral t-nin rasional funksiyasının inteqralına gətirilir.
2. Eylerin ikinci əvəzləməsi. Əgər  olarsa,
əvəzləməsini aparaq. Onda (müəyyənlik üçün qarşısındakı işarəni müsbət götürək)
 .
Buradan x rasional funksiya kimi t ilə ifadə olunur:
Göründüyü kimi, dx və də t ilə rasional şəkildə
ifadə olunur; ona görə x, və dx-in qiymətlərini  inteqralında yerinə yazaraq onu t-nin rasional funksiyasının inteqralına gətirərik.
3. Eylerin üçüncü əvəzləməsi. Tutaq ki, və həqiqi ədədləri  üçhədlisinin kökləridir.
qəbul edək.  olduğundan
Buradan x dəyişəni t-nin rasional funksiyası kimi ilə ifadə olunur:
 .
dx və də t ilə rasional ifadə olunduqlarından, verilmiş inteqral t-nin rasional funksiyasının inteqralına gətirilir.
Qeyd. Eylerin üçüncü əvəzləməsi yalnız  olduqda deyil, olduqda da tətbiq olunur, ancaq çoxhədlisinin köklərinin həqiqi olmalıdır.
5. Triqonometrik ifadələrin inteqrallanması.
►Əvvəlcə
 (1)
şəklində inteqrala baxaq. Göstərmək olar ki, bu inteqral
 (2)
əvəzləməsinin köməyi ilə həmişə rasional funksiyanın inteqralına gətirilə bilər.  və  funksiyalarını  vasitəsi ilə, deməli t ilə ifadə edək:
daha sonra
Beləliklə,  ,  və dx yeni t dəyişəni ilə rasional ifadə edildilər. Rasional funksiyanın rasional funksiyası rasional funksiya olduğundan, alınmış ifadələri (1) inteqralında yerinə yazıb, rasional funksiyanın inteqralını alarıq:
Baxılan əvəzləmə  şəklində olan istənilən funksi-yanı inteqrallamağa imkan verir. Ona görə də bəzən onu «universal triqonometrik əvəzləmə» adlandırırlar. Lakin praktikada o, çox zaman həddən artıq mürəkkəb rasional funksiyalara gətirib çıxarır. Ona görə də “universal” əvəzləmə ilə birlikdə bəzi hallarda məqsədə daha tez nail olmağa imkan verən digər əvəzləmələri də bilmək faydalıdır.
►1) Əgər inteqral  şəklindədirsə, onda   əvəzləməsi onu  şəklində inteqrala gətirir.
►2) Əgər inteqral  şəklində olarsa, onda o,   əvəzləməsi ilə rasional funksiya inteqralına gətirilər.
►3) İnteqralaltı funksiya yalnız  -dən asılı olarsa, onda   əvəzləməsi həmin inteqralı rasional funksiya inteqralına gətirir:
►4) Əgər inteqralaltı funksiya  şəklində olarsa, ancaq və yalnız cüt dərəcədən daxildirsə, onda həmin  əvəzləməsi tətbiq olunur, çünki  və  funksiyaları  ilə rasional şəkildə ifadə olunur:
  
►5) İndi şəkilli bir inteqrala da baxaq: inteqral işarəsi altında  hasili durur (burada m və n tam ədədlərdir). Burada üç hala baxaq.
a)  inteqralında m və n ədədlərindən heç olmasa biri tək ədəddir. Müəyyənlik üçün n ədədinin tək olduğunu qəbul edək ( ) və inteqralı çevirək:
 əvəz edək, onda və
olar. Bu isə t-nin rasional fnksiyasının inteqralıdır.
b) , burada m və n mənfi olmayan cüt ədədlərdir.  qəbul edib, triqonometriyadan məlum olan düsturları yazaq:
  (3)
Bu ifadələrinin qiymətlərini inteqralda yerinə yazsaq alarıq
Qüvvətə yüksəldib, mötərizələri açdıqdan sonra  funksiyasının tək və cüt dərəcəli qüvvətlərini alarıq. Tək dərəcəli hədlər a) halında göstərilən qayda ilə inteqrallanır, cüt dərəcəli qüvvətlərin dərəcəsini isə yenə (3) düsturlarının köməyi ilə azaldırıq. Bu qaydanı davam etdirərək  həddinə gəlib çıxarıq, bu isə asan inteqrallanır.
c) Əgər hər iki qüvvət üstü cüt və heç olmasa biri mənfi olarsa, onda yuxarıda göstərdiyimiz üsül bir nəticə vermir. Bu halda (yaxud  ) əvəzləməsi əlverişlidir.
►6) Sonda
şəklində inteqrallara baxaq. Bunlar aşağıdakı düsturların ( ) köməyi ilə hesablanır:
Mövzu 21
Müəyyən inteqral. Müəyyən inteqralın əsas xassələri. Müəyyən
və qeyrimüəyyən inteqrallar arasında əlaqə. Nyuton-Leybnis
düsturu. Müəyyən inteqralın hesablanması üsulları.
| 