11. Orta qiymət haqqında teorem. Əgər  funksiyası  parçasında kəsilməzdirsə, onda bu parçada elə nöqtəsi tapmaq olar ki, aşağıdakı bərabərlik doğru olsun:
 .
►Müəyyən və qeyri-müəyyən inteqrallar arasında əlaqə
Tutaq ki,  inteqralının aşağı sərhədi həmişəki kimi sabit ədəddir, lakin yuxarı sərhədi – b dəyişir. Onda inteqralın qiyməti də dəyişər, yəni inteqral yuxarı sərhədin funksiyasıdır.
Yuxarı sərhədi x ilə işarə edək və bunu inteqrallama dəyişəni ilə qarışdırmamaq üçün sonuncunu t ilə işarə edək 
a sabit olduğundan bu inteqral yuxarı sərhədin, yəni x-in funksiyasını təyin edir. Bu funksiyanı  ilə işarə edək
 (1)
Əgər mənfi deyilsə, funksiyası ədədi qiymətcə aAXx əyrixətli trapesiyasının sahəsinə bərabərdir (şəkil3). Aydındır ki, həmin sahə
x-dən asılı olaraq dəyişir.
Teorem. Əgər funksiyası kəsilməzdirsə, onda yuxarı sərhədi dəyiəşən olan müəyyən inteqralın törəməsi vardır və inteqralaltı funksiyanın yuxarı sərhəddə aldığı qiymətə bərabərdir, yəni
 (2)
İsbatı. x-in ixtiyari  qiymətini götürək və ona elə  artımı verək ki,  . Onda müəyyən inteqralın 4-cü xassəsinə əsasən alarıq:
Buradan funksiyasının artımını tapaq:
 .
Orta qiymət haqqında teoremi (11-ci xassə) tətbiq etsək, alarıq
 ,
burada ədədi x ilə x + x arasındadır. Bərabərliyin iki tərəfini də x bölək
 .
Əgər indi  , onda  və funksiyası parçasında kəsilməz olduğu üçün  . Onda axırıncı bərabərlikdə şərtində limitə keçsək alarıq
və ya  . Teorem isbat olundu.
Beləliklə, müəyyən edilib ki, istənilən parçasında kəsilməz funksiyasının bu parçada ibtidai funksiyası var və funksiyası – yuxarı sərhədi dəyişən olan müəyyən intaqral – üçün ibtidai funksiyadır. funksiyası üçün başqa ibtidai funksiya -dan yalnız C sabitinə fərqləndiyindən biz müəyyən və qeyri-müəyyən inteqral arasında olan əlaqəni müəyyən etmiş oluruq:
3. Müəyyən inteqralda dəyişəni əvəzetmə və hissə-hissə
inteqrallama.
Teorem. Əgər F(x) funksiyası verilmiş -in ibtidai funksiyalarından biri olarsa, onda
 (1)
düsturu doğrudur. Bu düstura Nyuton-Leybnis düsturu deyilir.
İsbatı. Tutaq ki, F(x) funksiyası-in hər hansı bir ibtidai funksiyasıdır. Yuxarıda isbat olunan teoremə görə  funksiyası da üçün ibtidaidir. Verilən funksiyanın iki ibtidaisi bir-birindən C sabiti qədər fərqləndiyindən aşağıdakı kimi yazmaq olar
 (2)
C sabiti düzgün seçildikdə bu bərabərlik istənilən x üçün doğrudur, yəni eynilikdır. Bu C sabitini tapmaq üçün bu eynilikdə  götürək, onda
 ,
yaxud  ; və buradan 
Deməli,
 .
Burada x = b götürməklə Nyuton-Leybnis düsturunu alarıq
,
və yaxud inteqrallama dəyişəni x götürərək
 .
Əgər fərqi simvolik olaraq
şəklində işarə etsək, onda (1) düsturunu belə yazmaq olar
 .
İnteqralaltı funksiyanın ibtidai funksiyası məlum olduqda Nyuton-Leybnis düsturu müəyyən inteqralı hesablamaq üçün əlverişli üsul verir.
4. Müəyyən inteqralın təqribi hesablanması.
►Düzbucaqlılar düsturu. Tutaq ki,  parçasında kəsilməyən y=f(x) funksiyası verilmişdir və
 (1)
inteqralını təqribi hesablamaq tələb olunur.
 (2)
 (3)
bunlara düzbucaqlılar düsturu deyilir.
►Trapeslər düsturu . Bu halda (1) əvəzinə
 (4)
təqribi bərabərliyi götürülür. Bu təqribi bərabərlikləri tərəf-tərəfə toplasaq
 (5)
təqribi bərabərliyi alınır. Buna (1) müəyyən inteqralının təqribi hesablanması üçün
trapesiyalar düsturu deyilir.
►Parabolalar və ya Simpson düsturu.
(1) Inteqralını təqribi hesablamaq üçün bu halda  parçasını
nöqtələri vasitəsilə 2n sayda bərabər hissələrə ayırırlar.
təqribi bərabərliyini alarıq.
Mövzu 22
| 