Determinantlarının hesablanmasını asanlaşdıran bir sıra xassələr vardır. Istənilən tərtibli determinantlara aid olan bu xassələri biz ancaq üçtərtibli determinantlar üçün burada söyləməklə kifayətlənirik.
X a s s ə 1. Determinantın bütün sətirləri ilə sütunlarının uyğun olaraq yerini dəyişdikdə onun qiyməti dəyişməz:
a11 a12 a13 a11 a12 a13
∆ = a21 a22 a23 = a21 a22 a23 (3)
a31 a32 a33 a31 a32 a33
Bu bərabərliyin doğruluğunu isbat etmək üçün sol tərəfdəki determinantı ∆ ilə, sağ tərəfdəki determinantı isə ∆* ilə işarə edək. ∆ determinantının birinci sətir elementləri üzrə ayrılışını və ∆* determinantının birinci sütun elementləri üzrə ayrışını yazaq:
∆ = a11A11 + a12A12 + a13A13 ,
∆*= a11A11* + a12A12* + a13A13*.
A11 = A11*, A12 = A12* və A13 = A13* olduqda ∆ = ∆* .
Determinantın bütün sətirləri ilə sütunlarının uyğun olaraq yerini dəyişməsinə onun çevrilməsi və ya transponirə edilməsi deyilir. Isbat etdiyimiz xassə göstərir ki, determinantın çevrilməsi zamanı onun qiyməti dəyişmir, yəni A matrisi ilə onun A* çevrilməsinin determinantları həmişə bərabərdir:
∆(A) = ∆(A*) (2)
N ə t i c ə. Hər bir determinantın sətirləri ilə sütunları eyni hüquqludur. Buna görə də determinantın bundan sonraki xassələrini ancaq sətirləri və ya ancaq sütunları üçün söyləmək kifayətdir.
X a s s ə 2. Determinantın iki sətrinin (və ya sütununun) bir-biri ilə yerini dəyişdikdə determinantın ancaq işsarəsi dəyişər:
a11 a12 a13 a11 a12 a13
a21 a22 a23 = - a21 a22 a23
a31 a32 a33 a31 a32 a33 .
Doğrudan da, sol tərəfdəki determinantın birinci sətir elementləri üzrə ayrılışını:
∆= a11A11 + a12A12 + a13A13
və sağ tərəfdəki determinantın ikinci sətir elementləri üzrə ayrılışını:
∆ꞌ= a11A11ꞌ + a12A12ꞌ + a13A13ꞌ
yazıb, A11 = - A11ꞌ, A12 = - A12ꞌ, A13 = - A13ꞌ olduğunu nəzərə alsaq, onda (3) bərabərliyinin doğruluğu aydın olar.
X a s s ə 3. Iki sətri eyni olan determinant sıfra bərabərdir:
a11 a12 a13
∆= a21 a22 a23 = 0.
a31 a32 a33
Doğrudan da, ∆ determinantında birinci və ikinci sətirlərin bir-biri ilə yerini dəyişsək, onda ∆=-∆. Buradan 2∆=0, ∆=0
X a s s ə 4. Determinantın hər hansı bir sətir elementlərinin ortaq vuruğu olarsa, onda həmin vuruğu determinantın xaricinə çıxarmaq olar.
a11 a12 a13 a11 a12 a13
λ a21 a22 a23 = λ a21 a22 a23 (4)
a31 a32 a33 a31 a32 a33
Bu bərabərliyinin sol tərəfindəki determinantı ∆1=λa21A21+λa22A22+λa23A23=λ(a21A21+a22A22+a23A23) = λ∆.
N ə t i c ə 1. Determinantın hər hansı bir sətrinin bütün elementləri sıfır olduqda determinant sıfra bərabər olar.
Nəticənin doğruluğuna inanmaq üçün (4) bərabərliyində λ=0 götürmək kifayətdir.
N ə t i c ə 2. Determinantı bir ədədə vurmaq üçün determinantın hər hasnı bir sətrini həmin ədədə vurmaq kifayətdir.
Bu nəticənin doğruluğuna inanmaq üçün (4) bərabərliyini sağdan sola oxumaq kifayətdir.
X a s s ə 5. Determinantın hər hansı bir sətrinin bütün elementləri iki ədədin cəmi kimi verildikdə, həmin determinant iki determinantın cəminə bərabər olar, bu determinantların birində həmin sətir elementləri olaraq birinci toplananlar, o birində isə həmin sətir elementləri olaraq ikinci toplananlar götürülür.
a11+aꞌ11 a12+aꞌ12 a13+aꞌ13 a11 a12 a13 aꞌ11 aꞌ12 aꞌ13
a21 a22 a23 = a21 a22 a23 + a21 a22 a23 (5)
a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32 a33
Doğrudan da, bərabərliyin sol tərəfindəki determinantı ∆1, sağ tərəfdəki determinantları isə uyğun olaraq ∆ və ∆ꞌ ilə işarə edərək, ∆1 determinantını birinci sətir elementləri üzrə ayırsaq:
∆1= (a11+aꞌ11)A11+ (a12+aꞌ12) A12+ (a13+aꞌ13) A13=
=( a11A11 + a12A12 + a13A13)+(aꞌ11A11 + aꞌ12A12 + aꞌ13A13)=∆+∆ꞌ
və ya tələb olunan
∆1=∆+∆ꞌ
bərabərliyini alırıq.
X a s s ə 6. Determinantın hər hansı sətrinin bütün elementlərini bir ədədə vurub onun başqa bir sətrinin uyğun elementləri üzərinə əlavə etsək, determinant dəyişməz:
a11 a12 a13 a11+λa21 a12+λa22 a13+λa23 a21 a22 a23 = a21 a22 a23 (6)
a31 a32 a33 a31 a32 a33
Bu təklifin doğruluğu 3, 4 və 5 xassələrdən aydındır.
3. Tərs matris anlayışı.
Tutaq ki, A hər hansı tərtibli kvadrat matris və I həmin tərtibli vahid matrisidir. Bu halda
A-1-A=AA-1=I (1)
bərabərliyini ödəyən A-1 matrisinin A matrisinin tərsi deyilir. (1) bərabərliyi göstərir ki, A-1 matrisi A matrisinin tərsidirsə, onda A matrisi də A-1 matrisinin tərsidir:
(A-1) -1=A (2)
yəni A və A-1 matrisləri qarşılıqlı tərs matrislərdir.
A matrisinin tərsi varsa, bu ancaq yeganə ola bilər. Doğrudan da, A matrisinin A-11 və A-12 kimi iki tərs matris olarsa, onda
A(A-11 - A-12)=I - I=0.
Bu bərabərliyin hər iki tərəfini soldan A-11 matrisinə vursaq:
A-11 A(A-11 - A-12)=I(A-11 - A-12)= A-11 - A-12=0
və yaxud
A-11 = A-12
A matrisinin determinantı ∆(A) olsun. ∆(I)=1 olduğundan (1) bərabərliyinə əsasən
∆(AA-1)= ∆(A)· ∆(A-1)=1
və yaxud
∆(A)· ∆(A-1)=1, ∆(A-1) =  (3)
münasibəti doğrudur. Buradan aydındır ki, verilmiş A matrisinin A-1 tərsi olması üçün ∆(A)0 olmalıdır. Bu təklifin tərsi də doğrudur. Deməli, verilmiş A matrisinin tərs A-1 matrisi olması üçün onun ∆(A) determinantının sıfırdan fərgli olması zəruri və kafi şərtdir.
Determinantı sıfra bərabər, yəni ∆(A)0 olan kvadrat A matrisinə cırlaşmış (və ya məxsusi) matris deyilir. Determinantı sıfra bərabər olmayan kvadrat A matrisinə isə cırlaşmamış (və ya qeyri-məxsusi) matris deyilir. Dediklərimizdən aydındır ki, cırlaşmamış matrisin tərsi vardır.
Verilmiş matrisin tərsini nece tapmaq olar?
Tutaq ki, ikitərtibli cırlaşmamış
A2 = a11 a12
a21 a22
matrisi verilmişdir. Bu matrisin tərsi:
A-12 =  və ya A-12=
Bunun doğruluğuna inanmaq üçün A2 A-12=I olduğunu yoxlamaq kifayətdir.
Indi üçtərtibli cırlaşmamış (∆(A3)0)
a11 a12 a13
A3 = a21 a22 a23 (4)
a31 a32 a33
matrisini götürək. Bu matrisin tərsi:
A-13 =   (5)
Doğrudan da, burada Ai k ilə ai k elementinin cəbri tamamlayıcısı işarə olunduğunu və determinantların xassəssini nəzərə alsaq:
A-13 A3 = 
və yaxud tələb olunan
A-13 A3 =  = I3
bərabərliyini alırıq.
Üçtərtibli (4) kvadrat matrisinin (5) tərsinin qurulma sxemi çox sadədir: (4) matrisinin ai k elementi onun uyğun Ai k cəbri tamamlayıcısının  ədədinə nisbəti ilə əvəz olunur. Alınan matrisin çevrilməsi (baş diaqonala nəzərən çevrilməsi) (5) matrisinə bərabərdir. həmin qayda ilə n-tərtibli cırlaşmayan kvadrat
a11 a12 ... a1n 
A = a21 a22 ... a2n (∆A)0)
. . . . . . . .
an1 an2 ... ann
matrisinin
A11 A21 ... An1
A-1=  A12 A22 ... An2
. . . . . . . . .
A1n A2n ... Ann
tərs matrisini qurmaq olar.
| 