İ s b a t ı. (2) sisteminin həlli (xo , yo) olsun. Onda
f1 (xo , yo) = 0, f2 (xo , yo) = 0
doğru ədədi bərabərliklərdir. buradan, ixtiyari λ1, λ2, μ1 və μ2 ədədləri üçün doğru olan.
λ1 f1 (xo ,yo) + λ2 f2 (xo ,yo) = 0,
μ1 f1 (xo ,yo) + μ2 f2 (xo ,yo) = 0
bərabərlikləri alınır ki, bu da (xo ,yo) əddələri cütünün (3) sisteminin həlli olduğunu göstərir.
Eyni qayda ilə də (4) şərti ödənildikdə (3) sisteminin hər bir (xo ,yo) həlli (2) sisteminin də həlli olduğunu isbat etmək olar.
Anoloji teorem n məchullu n tənlikl sistemi haqqında da doğrudur.
Q e y d. (4) şərti ödənilmədikdə (2) və (3) sistemləri eynigüclü olmaya da bilər. Məsələn,
x + 3y – 10 = 0 (5)
2x – y + 1 = 0
tənliklər sistemi, ondan determinantı
d =  = 0
olan xətti çevirmə ilə alınan
5x + y – 8 = 0, (6)
10x + 2y – 16 = 0
tənliklər sistemi ilə eynigüclü deyildir. (5) sisteminin yeganə (1, 3) həlli (6) sisteminin də həllidir. Lakin (6) sisteminin (2, -2), (3, -7) və s. kimi çox (sonsuz sayda) həlləri var ki, onlar (5) sisteminin həlli deyildir■
2. Kramer üsulunun mahiyyəti.
► (1) sistemini ∆ = a11a22 – a12a21 0 olduqda həll etmək üçün onun birinci tənliyinin hər iki tərəfinə a22 , ikinci tənliyin hər iki tərəfini isə (-a12) ədədinə vurub toplamaq, sondara birinci tənliyin hər iki tərəfini (a21) , ikinci tənliyin isə hər iki tərəfini a11 ədəddinə vurub toplamaq lazımdır. Onda
(a11a22 – a12a21) x = b1a22 – b2a12,
(a11a22 – a12a21) x = a11b2 – b1a21
və yaxud
 x =   
y =  
sistemini alırıq. Buradakı ikitərtibli determinantları
∆ = , ∆1 = ,∆2 =  
ilə işarə etsək, sonuncu sistemi
∆ · x = ∆1 (7)
∆ · y = ∆2
kimi yazmaq olar. ∆ 0 olduğundan (1) və (7) sistemləri ekvivalentdir. Buna görə də, (7) sisteminin yeganə
x =  , y =  (8)
həlli (1) sisteminin də yeganə həlli olur.
(8) düsturlarına Kramer düsturları, ∆ determinantına isə (1) sisteminin determinantı deyilir.
Beləliklə, isbat etmiş oluruq ki, (1) sisteminin ∆ determinantı sıfırdan fərgli olduqda həmin sistemin yeganə həlli var və bu həll (8) Kramer düsturları vasitəsilə tapılır. Buna Kramer qaydası deyilir.
► İndi (1) sisteminin ∆ determinantı sıfır olan hala baxaq.
∆ = = 0
Olduqda məlum teoremə görə:
a21 = λa11, a22 = λa12 (9)
Onda (1) sisteminin ikinci tənliyinin sol tərəfi birinci tənliyin sol tərəfini λ ədədinə vurmaqla alınar:
a21x + a22y = λ (a21x + a12y) . (10) Buradan aşağıdakı kimi nəticələr alırıq:
1. Əgər (1) sisteminin sağ tərəfindəli b1 və b2 ədədləri (9) münasibətinə uyğun
b2 = λ b1 (11)
münasibətini ödəyərsə, onda (1) sisteminin ikinci tənliyi birinci tənliyindən λ ədədinə vurulmaqla alınar. Bu halda sistemin birinci tənliyinin hər bir həlli ikinci tənliyinin və buna gğrə də (1) sisteminin həlli olar.
Sistemin birinci
a11x + a12y = b1 (12)
tənliyinin isə sonsuz sayda həlli var: dəyişənin birinə ixtiyari qiymətlər verərək (12) tənliyindən ikinci dəyişənin qiymətlərini tapsaq, onda tapəlan ədədlər (12) tənliyinin həlli olar.
Deməli, bu halda (1) sisteminin sonsuz sayda həlli var,
2. Əgər b1 və b2 ədədləri (11) münasibətini ödəməzsə, yəni b2 λb1 olarsa, onda (1) sisteminin həlli olmaz. Çünki, bu halda, sistemin birinci
a11x + a12y b1
tənliyini ödəyən heç bir x = xo və y = yo ədədləri ikinci tənliyini ödəyə bilməz:
a21 xo + a22 yo λ b1 b2 .
dediklərimizə əsasən belə bir nəticə aliriq: (1) sisteminin determinantə sıfırdan fərgli (∆ 0) olduqda həmin sistemin yeganə həlli var, sistemin determinantı sıfır olduqda isə həmin sistemin ya sonsuz sayda həlli var, ya da heç bir həlli yoxdur.
| 