Misal 1. z = x y ikidəyişənli funksiyasının tam diferensialını tapın.
Xüsusi törəmələrin tərifinə görə (8) düsturunu nəzərə alaraq:
dz = (yx y – 1) dx + (x y ln x) dy.
Misal 2. z = x2y ikidəyişənli funksiyasının tam diferensialını tapın.
Xüsusi törəmələrin tərifinə görə (8) düsturunu nəzərə alaraq:
dz = (2xy) dx + (x2)dy.
Misal 3. z =  ikidəyişənli funksiyasının x=2, y=1, dx=0.1, dy=0.2, şərtlərinə görə tam diferensialını tapın.
dz =  dx +  dy
dz =  = 0.075
Misal 4. z = xy funksiyası üçün x=5, y=4, ∆x=dx=0.1, ∆y=dy= , şərtlərinə görə funksiyanın ∆z tam artımını və dz tam diferensialını hesablayın:
1) dz = y dx + x dy
dz = 4 · 0.1 + 5 · () =  - tam diferensialı;
2) ∆z = z (x + ∆x, y + ∆y)  , düstura görə aliriq:
∆z = 
∆z = 0.62 - tam artımı.
3. İstiqamət üzrə törəmələr.
Tutaq ki, W = f (x, y, z) funksiyası üç-ölçülü fəzada verilmişdir və onun hər hansı Mo = (xo, yo, zo) nöqtəsindən vahid (cos vektoru isdiqamətində keçən l düz xətti verilmişdir. Burada  vahid vektorunun koordinat oxlarının müsbət istiqaməti ilə əmələ qətirdiyi bucaqlardır. MoM = parçası üçün:
 ,
 , (1)
alırıq. Bu halda f funksiyası l düz xətti üzərində mürəkkəb funksiya olur:
f (x, y, z) = f ( ) (2)
Tərif. Əgər (2) funksiyasının dəyişəninə görə  nöqtəsində törəməsi varsa, onda həmin törəməyə f funksiyasınının Mo nöqtəsində verilmiı l istiqaməti üzrə törəməsi deyilir və  kimi işarə olunur.
Deməli, istiqamət üzrə törəmə koordinat oxlarının anlayışının ümümiləşməsidir.
Teorem. Verilmiş (xo, yo, zo) nöqtəsində diferensiallanan f funksiyasının həmin nöqtədə istənilən l istiqaməti üzrə törəməsi var və həmin törəmə
=   +   +   (3)
4. Qradiyent anlayışı.
Funksiyanın törəməsi onun dəyişmə süətini göstərir, ona görə də çoxdəyişənli funksiyanın verilmiş M nöqtədə l istiqamətində törəməsinə onun həmin nöqtədə l istiqaməti üzrə dəyişmə sürəti kimi baxmaq olar. Qeyd edək ki, funksiyanın müxtəlif istiqamətlərdə dəyişmə sürəti ümümiyyətlə eyni olmur.
Bir çox məsələlərin həllində bəzən baxılan funksiyanın verilmiş nöqtədə ən böyük sürətlə artma istiqamətini tapmaq tələb olunur.
Tutaq ki, W = f (x, y, z) funksiyasının M (x, y, z) nöqtəsindən xüsusi ,  , sonlu törəmələri var. Bu xüsusi törəmələr vasitəsilə
 =  +   (1)
vektorunu düzəldək. vektoruna f funksiyasının M nöqtəsində qradiyenti deyilir və
 (2)
 + (3)
və vahid vektoru arasındakı bucaqı φ işarə etsək, onda vektorların skalyar hasilinin tərifinə əsasən:
 =  · cos φ (4)
münasibəti alınır.
Buradan aydındır ki, max cos0 = 1 qiymətinə görə funksiyanın M nöqtəsində l istiqaməti üzrə törəməsinin ən böyük olması üçün φ=0 olmalıdır, yəni funksiyanın törəməsi qradiyentin təyin etdiyi istiqamət üzrə götürülməlidir:
 max == (5)
Çox vaxt funskiyanın qradiyentini Hamilton operatoru adlanan
 =  +   (6)
vektor operatoru vasitəsilə ifadə edirlər ( işarəsi Nabla adlanır) :
 (7)
5. Teylor düsturu.
Birdəyişənli funksiyalar üçün məlum olan Teylor düsturu uyğun şəkildə çoxdəyişənli funksiyalar üçündə doğrudur. Bunu, sadəlik xətrinə, ikidəyişən funksiyalar üçün göstərməklə kifayyətlənək (qeyd edək ki, düsturunun qalığını Laqranj şəklində verək):
∆f (xo, yo) = df (xo, yo)+ d 2f (xo, yo)+...+ dnf(xo, yo)+
+ dn+1(xo+ xo+ 0 (8)
Rn – Laqranj şəklində qalıq xətti
Mövzu 26
Çoxdəyişənli funksiyanın ekstremumu. Empirik
düsturlar haqqında anlayış. İkidəyişənli funksiyanın
ekstremumu. Şərti ekstremum
|
