Misal 1. İkidəyişənli z =x3sin y + y4 funksiyanın xüsusi törəmələrini tapın:
x dəyişənə görə xüsusi törəmə hesablayarkən y dəyişənini sabit kimi qəbul etməliyik:
 =3 x2sin y;
y dəyişəninə görə isə xüsusi törəmə hesablayarkən x dəyişənini sabit kimi qəbul etməliyik:
 = x3cos y +4 y3.
Misal 2. Üçdəyişənli u = x6 – y4 +3z5 funksiyanın xüsusi törəmələrini tapın:
x dəyişənə görə xüsusi törəmə hesablayarkən y,z dəyişənlərini sabit kimi qəbul etməliyik:
 = 6x5;
y dəyişəninə görə isə xüsusi törəmə hesablayarkən x,z dəyişənlərini sabit kimi qəbul etməliyik:
 =  ;
z dəyişəninə görə isə xüsusi törəmə hesablayarkən x,y dəyişənlərini sabit kimi qəbul etməliyik:
 = 15z4.
4. Çoxdəyişənli funksiyaların tam artımı və limiti.
Tərif 1. Əgər istənilən e > 0 ədədinə görə elə r > 0 ədədi tapmaq olarsa ki,  bərabərsizliyinin ödəndiyi bütün  nöqtələri üçün
bərabərsizliyi doğru olsun, onda A ədədinə  nöqtəsi  nöqtəsinə yaxınlaşdıqda  funksiyasının limiti deyilir və belə işarə edilir:
Tərif 2. Tutaq ki,  nöqtəsi  funksiyasının təyin oblastına daxildir. Əgər  nöqtəsi istənilən qayda ilə  nöqtəsinə yaxınlaşdıqda
olarsa, onda  funksiyasına nöqtəsində kəsilməz funksiya deyilir.
Oblastın bütün nöqtələrində kəsilməz funksiyaya həmin oblastda kəsilməz funksiya deyilir.
Tərif 3.  funksiyasının x-ə görə  xüsusi artımının Dx artımına nisbətini düzəldək. Dx sıfra yaxınlaşdıqda bu nisbətin limitinə həmin funksiyanın x-ə nəzərən xüsusi törəməsi deyilir.  funksiyanın x-ə nəzərən xüsusi törəməsini
simvollardan biri ilə işarə etmək olar. Beləliklə, tərifə əsasən
Oxşar qayda ilə  xüsusi artımının y-ə nisbətinin y sıfra yaxınlaşdıqda limitinə  funksiyasının y-ə nəzərən xüsusi törəməsi deyilir və
simvollardan biri ilə işarə edilir. Beləliklə,
 artımını hesablayarkən y-in, -i hesablayarkən isə x-in sabit saxlandığını nəzərə alaraq, xüsusi törəmələrin tərifini belə vermək olar:  funksiyasında y-i sabit fərz edərək, x-ə nəzərən hesablanmış törəməyə x-ə nəzərən xüsusi törəmə deyilir. funksiyasında x-i sabit fərz edərək y-ə nəzərən hesablanmış törəməyə y-ə nəzərən xüsusi törəmə deyilir.
Bu qaydadan aydındır ki, çoxdəyişənli funksiyanın xüsusi törəmələrinin tapılması birdəyişənli funksiyanın törəməsinin tapılması qaydası kimidir, yalnız yadda saxlamaq lazımdır ki, hansı dəyişənə nəzərən törəmə alınır.
Mövzu 25
Tam diferensial. İstiqamət üzrə törəmələr.
1. Yüksək tərtibli xüsusi törəmələr.
2. Tam diferensial anlayışı.
3. İstiqamət üzrə törəmələr.
4. Qradiyent anlayışı.
5. Teylor düsturu.
1. Yüksək tərtibli xüsusi törəmələr.
►Tutaq ki, ikidəyişənli  funksiyası verilmişdir. Ümumiyyətlə desək,  və  xüsusi törəmələri x və y kəmiyyətlərinin funksiyalarıdır. Ona görə də onlardan yenidən xüsusi törəmələr almaq olar. Deməli, ikidəyişənli funksiyanın ikitərtibli xüsusi törəmələrinin sayı dörddür, çünki  və  funksiyalarından hər birini həm x və həm də y arqumetlərinə nəzərən diferensiallamaq olar:  ;  ;  ;  İkitərtibli törəmələri də yenə həm x, həm də y-ə nəzərən diferensiallamaq olar. Onda üçtərtibli xüsusi törəmələr alarıq. Bunların sayı səkkiz olar:  ;  ;  ;  ;  ; ;  ;  . İstənilən n tərtibli törəmə tərtibli törəmənin birinci törəməsidir.
2. Tam diferensial anlayışı.
funksiyası tam artımının tərifinə görə
 . (1)
Fərz edək ki, baxılan (x, y) nöqtəsində funksiyasının birinci tərtib kəsilməz xüsusi törəməsi var. (1) bərabərliyinin sağ tərəfinə f(x, y + y) ifadəsini əlavə edək və çıxaq:
 . (2)
Hər bir kvadrat mötərizəyə Laqranj düsturunu tətbiq edək.
 , (3)
burada ədədi x ilə x+Dx arasındadır;
 , (4)
burada ədədi y ilə y+y arasındadır.
(3) və (4) ifadələrini (2) bərabərliyində yerinə yazaq:
 +  . (5)
Fərziyyəyə görə xüsusi törəmələr kəsilməz olduqlarından
 (6)
Limitin tərifinə əsasən (6) bərabərsizliklərini
 (6)
şəklində yazmaq olar; burada Dx və y sıfra yaxınlaşanda 1 və 2 da sıfra yaxınlaşır. (6) bərabərsizliklərinə əsasən (5) münasibəti
 (7)
şəklini alar.
Birinci iki həddin cəmi Dx və y kəmiyyətlərinə nəzərən xəttidir. Bu cəm z artımından sonsuz kiçilən qədər fərqlənməklə, həmin artımın baş hissəsini təşkil edir.
Tərif. Verilmiş (x, y) nöqtəsindəki z tam artımı aşağıdakı kimi iki həddin cəmi şəklində göstərilə bilən funksiyasına həmin nöqtədə diferensiallana bilən funksiya deyilir; burada hədd adlandırdığımız birinci ifadə Dx və y artımlarına nəzərən xəttidir, ikinci hədd isə yüksəktərtibli sonsuz kiçiləndir. Tam artımın xətti hissəsinə funksiyanın tam diferensialı deyilir və dz yaxud df ilə işarə edilir
Sərbəst dəyişənlərin Dx və y artımlarını x və y dəyişənlərinin diferensialları adlandıraq və uyğun olaraq dx və dy ilə işarə edək. Bu halda tam diferensialın ifadəsi
 (8)
şəklini alar.
►Bir neşə misala baxaq.
|
