Üçqat inteqral və onun tətbiqi.
1. Üçqat inteqral anlayışı.
2. Üçqat inteqralın hesablanması.
3. Cismin ətalət momenti, kütlə və ağırlıq mərkəzin
koordinatları.
1. Üçqat inteqral anlayışı.
İkiqat inteqralın tərifi müstəvi fiqurların sahəsi anlayışına əsaslandığı kimi, üçqat inteqralın tərifi də fəzada cisimlərinin (fiqurlarının) həcmi anlayışına əsaslanır.
Bundan sora baxdığımız bütün fəza oblastlarının və ya cisimlərinin sonlu həcmi olduğunu (kubların olduğunu) fərz edirik.
Tutaq ki,  funksiyası (Oxyz) fəzasının qapalı və kublanan V oblastında təyin olunmuşdur. V oblastını hər hansı qayda ilə ortaq daxili nöqtəsi olmayan  elementar hissələrə bölək. V oblastının göstərilən şəkildə bölgüsünü T, bölgüdən alınan  (k = 1, 2,..., n) hissələrinin uyğun olaraq həcmini ∆ (k = 1, 2,..., n) və diametrini  (k = 1, 2,..., n) ilə işarə edək. T bölgüsünün parametri λ=λ(T) olsun:
λ=λ(T) = max( ).
Hər bir hissəsində ixtiyari bir  nöqtəsi götürək və aşağıdakı kimi cəm düzəldək:
 . (1)
Bu cəmin qiyməti V oblastının T bölgüsündən və  nöqtələrinin seçilməsindən asılıdır. (1) cəminə f funksiyasının V oblastında inteqral cəmi deyilir. Hər bir f funksiyası üçün verilmiş V oblastında sonsuz sayda inteqral cəmi düzəltmək olar.
Tərif. (1) inteqral cəminin λ(T) şərtinə
limiti varsa, onda f funksiyasına V oblastında inteqrallanan funksiya, J ədədinə isə onun V oblastında üçqat inteqralı deyilir və  (və ya  ilə işarə edilir:
 (2)
Burada f inteqralaltı funksiya, V inteqrallama oblastı, x, y, z inteqrallama dəyişənləri və dV (və ya dV = dx dy dz) həcm elementi adlanır. Tərifdən aydındır ki,  olduqda üçqat inteqralın qiyməti V inteqrallama oblastının həcminə (biz V oblastının həcmini də V ilə işarə edirik) bərabərdir:
Üçqat inteqralın əsas xassələri:
Xassə 1. (xəttilik). V oblastında inteqrallanan sonlu sayda  funksiyaların xətti kombinasiyası da həmin oblastda inteqrallanandır və sabit  ədədləri üçün
 (3)
bərabərliyi doğrudur.
Xassə 2. (additivlik). f funksiyası V oblastında inteqrallanarsa və V oblastı ortaq daxili nöqtələri olmayan oblastlarının birləşməsindədirsə, onda
həmin funksiya (k = 1, 2,..., n) oblastlarının hər birində də inteqrallanandır və
 (4)
bərabərliyi doğrudur.
Xassə 3. (monotonluq). V oblastında inteqrallanan f və  funksiyaları üçün həmin oblastın bütün nöqtələrində  bərabərsizliyi ödənilirsə, onda onların inteqralları üçün də həmin bərabərsizlik ödənilər:
 (5)
yəni bərabərsizliyi verilmiş oblast inteqrallamaq olar.
Xüsusi halda, V oblastında  olduqda
 ,
 olduqda isə
olar.
|
