Teorem 1. Tutaq ki, ∆si hissəciklərinin diametrlərindən böyüyü sıfra yaxınlaşır (deməli n ); onda f (x,y) funksiyası D qapalı oblastında kəsilməz olarsa, (1) inteqral cəmlərinin (2) ardıcıllığının limiti vardır. Bu ədəd olur, yəni həmin limit, D oblastının ∆si hissəciklərinə bölünməsi qaydasında və eləcə də ∆si hissəcikləri üzərində Pi nöqtələrinin seçilişindən asılı deyildir.
Bu limitə f (x,y) funksiyasının D oblastı üzrə ikiqat inteqralı deyilir və belə işarə olunur:
 yaxud 
yəni
Burada D oblastını inteqrallama oblastı deyilir.
z = f (x,y) səthi ilə yuxarıdan, z = 0 müstəvisi ilə aşağıdan və yönəldicisi L xəttindən ibarət, doğuranları isə Oz oxuna paralel olan silindrik səth ilə yanlardan əhatə olunmuş cismin həcmini Q ilə işarə edək (şəkil 3).  olarsa,  funksiyasının D oblastı üzrə ikiqat inteqralı həmin cismin Q həcminə bərabərdir.
İkiqat inteqral haqqında aşağıdakı teoremləri verək.
Teorem 2. İki funksiyanın φ(x, y) + ϕ(x, y) cəminin D oblastı uzrə ikiqat inteqralı, həmin funksiyaların ayrı-ayrılıqda D üzrə ikiqat inteqrallarının cəminə bərabərdir:
Teorem 3. Sabit vuruğu ikiqat inteqral işarəsi xaricinə cıxarmaq olar:
a - sabitdir.
y
Şəkil - 4
0 x
Bu teoremlərinin hər ikisinin isbatı, müəyyən inteqralın uyğun xassələrinin isbatı kimidir.
Teorem 4. D oblastı iki D1 və D2 oblastlarına ayrılmışdırsa (bunların ortaq daxili nöqtələri yoxdur) və f (x,y) funksiyası D oblastının bütün nöqtələrində kəsilməzdirsə, onda
2. İkiqat inteqralın hesablanması.
Oxy müstəvisi üzərində bir D oblastı götürək; bu oblast elədir ki, onun daxili nöqtəsindən keçən və koordinat oxlarından birinə paralel olan hər bir düz xətt onun sərhədini yalnız iki nüqtədə kəsir. Məsələn, tutaq ki, Oy oxuna paralel düz xətt onun sərhədini N1 və N2 nöqtəsində kəsir (şəkil 1).
Bu hal üçün fərz edək ki, həmin D oblastı Oy, y = φ1(x), y = φ2(x), x = a, x = b xətləri ilə əhatə olunmuşdur, bundan başqa
φ1(x)  φ2(x), 
və φ1(x), φ2(x), funksi-
y yaları  parçasında
N2 kəsilməzdir.Belə oblas -
tı biz Ox oxu istiqamə-
D tində düzgün oblast ad-
N1 landıracağıq. Ox oxu
istiqamətində düzgün
0 a x b x oblast da buna oxşar
Şəkil - 1
qayda ilə təyin edilir.
Həm Ox, həm də Oy oxu istiqamətində düzgün oblasta sadəcə olaraq düzgün oblast deyilir.
1 – ci şəkildə məhz düzgün oblast verilmişdir. Tutaq ki, f (x,y) funksiyası D oblastında kəsilməzdir.
İki ardıcıl inteqralı olan
ifadəsinə baxaq. Bu ifadə biz  funksiyasının D oblastında təkrar inteqralı deyəcəyik. Bu ifadə əvvəlcə mötərizədəki inteqral x - ə sabit kimi baxmaqla
y - ə nəzərən hesablanır. Bunun nəticəsində x – dən asılı kəsilməz funksiya alınır:
Ф(x) =  .
Sonra bu funksiyanı a ilə b arasında x-ə nəzərən inteqrallayırlar:
Nəticədə müəyyən sabit ədəd adlanır.
Misal 1. Aşağıdakı təkrar inteqralı hesablamalı:
Əvvəlcə daxili (mötərizə içərisindəki) inteqralı hesablamaq lazımdır:
Ф(x) =  .
Aldığımız funksiyanı 0 ilə 1 arasında inteqrallayaq:
 .
Bu misaldakı D oblastını təyin edək. Həmin D oblastı:
y = 0, x = 0, y = x2, x = 1
xətləri ilə əhatə olunmuşdur (şəkil 2).
y y
0 i x 0 a c b x
Şəkil – 2 Şəkil – 3
D oblastı elə ola bilər ki, y = φ1(x), y = φ2(x) funksiyalarından biri x arqumentinin dəyişdiyi bütün interval boyunca (x = a ilə x = b arasında) bir analitik ifadə vasitəsi bilməsin Məsələn, tutaq ki,  və
 parçasında φ1(x) =ϕ(x) ,
 parçasında φ1(x) =χ (x),
burada ϕ(x) və χ (x) – analitik şəkildə verilmiş funksiyalardır (şəkil 3). Bu halda təkrar inteqral aşağıdakı kimi yazılır:
Bu bərabərliklərdən birincisi müəyyən inteqralın məlum xassəsinə əsasən yazılmışdır, ikincisi isə ona görədir ki, parçasında φ1 və parçasında isə φ1 χ (x).
 funksiyası parçasının müxtəlif hissələrində müxtəlif analitik ifadələrlə verilmiş olduğu halda da təkrar inteqral oxşar qayda ilə parçalanıb yazılardı.
ρ=
ρ=
0   ρ
►Polyar koordinatlarda ikiqat inteqral.
Tutaq ki, (φ, ρ) polyar koordinat sistemində D oblast verilir ki; o, φ = φi = const
şualar və ρ = ρi = const mərkəzləri O(0, 0) nöqtədə yerləşən konsentrik çevrələrlə hissələrə bölünür. Belə olan halda, D oblastı üzrə f (M) funksiyanın ikiqat inteqralı:
kimi hesablanır. Həmin inteqralın hesablanması zamanı
təkrar inteqraldan istifadə edilir.
Burada və – φ-nın D oblastı üzrə ən kiçik və ən böyük qiymətləridir.
Çox hallarda axtarılan kəmiyyət öncə dekart koordinatlarının köməyi ilə ifadə olunmuş ikiqat inteqralın köməyi ilə təmsil olunur və daha sonra hesablamaları sadələşdirmək məqsədilə polyar koordinatlara çevrilir. Həmin keçidi aşağıdakı münasibətlərə əsasən aparıllar:
|
