Misal.  ellips əyrisi ilə əhatə olunmuş fiqurun sahəsini hesablamalı.
Ellipsin parametrik tənliyi  olduğundan (4) düsturuna görə taparıq:
S()= 
Mövzu 30
Adi diferensial tənliklər. birtərtibli diferensial tərtiblər.
Koşi məsələsi. Xətti diferensial tənliklərin əsas növləri.
1. Əsas anlayışlar, təriflər.
2. Birtərtibli diferensial tənliklər.
3. Dəyişənlərinə ayrıla bilən diferensial tənliklər.
4. Bircins diferensial tənliklər.
5.Birtərtibli xətti diferensial tənlik. Bernulli tənliyi.
1. Əsas anlayışlar, təriflər.
►Tərif. İxtiyari x dəyişəni, onun  funksiyası və bu funksi-yanın həmin x dəyişəninə nəzərən  törəmələri daxil olan tənliyə adi diferensial tənlik deyilir.
Diferensial tənliyə daxil olan ən yüksək tərtibli törəmənin tərtibinə həmin diferensial tənliyin tərtibi deyilir. n-tərtibli adi diferensial tənlik ümumi şəkildə aşağıdakı kimi yazılır
 . (1)
(1) diferensial tənliyini eyniliyə çevirən  funksiyasına həmin tənliyin həlli deyilir. Bu, o deməkdir ki, funksiyasını və onun  törəmələrini (1) tənliyində yerinə yazdıqda həmin tənlik x -ə nəzərən eyniliyə çevrilir.
n-tərtibli diferensial tənliyin ümumi həlli n sayda ixtiyari sabitin daxil olduğu elə
 (2)
həllinə deyilir ki, o verilmiş tənliyi eyniliyə çevirsin.
Diferensial tənliyin ümumi həllinə daxil olan ixtiyari sabitlərin müəyyən qiymətlərində alınan hər bir həlli diferensial tənliyin xüsusi həlli adlanır.
Verilmiş diferensial tənliyi ödəyən funksiya (həll) qeyri-aşkar və parametrik şəkildə də verilə bilər. Bu halda həmin funksiyaya bəzən diferensial tənliyin inteqralı deyilir. Diferensial tənliyin həllinin qrafiki inteqral əyrisi adlanır.
2. Birtərtibli diferensial tənliklər.
Birtərtibli diferensial tənlik ümumi şəkildə aşağıdakı kimi yazılır
 .
Bu tənliyi axtarılan funksiyanın y törəməsinə nəzərən həll etmək mümkün olduqda
 (1)
şəklində törəməyə nəzərən həll olunmuş birtərtibli diferensial tənlik alınır.
(1) tənliyinin ümumi həlli
 (2)
şəklindədir. Burada C ixtiyari sabitdir. Həndəsi olaraq (2) ümumi həll inteqral əyriləri ailəsindən ibarətdir, yəni C sabitinin müxtəlif qiymətlərinə uyğun olan xətlər toplusudur. İnteqral əyriləri belə bir xassəyə malikdirlər ki, onların hər bir M(x, y) nöqtəsində toxunanın meyl bucağı
şərtini ödəyir.
Əgər inteqral əyrisinin keçdiyi  nöqtəsini versək, onda bununla sonsuz inteqral əyriləri ailəsindən müəyyən bir inteqral əyrisi seçilir və bu bizim diferensial tənliyin xüsusi həllinə uyğundur.
Analitik olaraq bu tələb olduqda başlanğıc adlanan şərtə gətirilir. Əgər (2) ümumi həll məlumdursa, onda alırıq ki,
Bu şərtdən C sabitini müəyyən etmək olar və nəticədə, uyğun xüsusi həlli tapmaq olar. Koşi məsələsi bundan ibarətdir.
Koşi məsələsi. (1) diferensial tənliyinin  başlanğıc şərti ödəyən, yəni arqumentin qiymətində verilmiş qiymətini alan həllini tapın.
Koşi məsələsini həndəsi olaraq belə ifadə etmək olar: (1) diferensial tənliyinin verilmiş nöqtəsindən keçən inteqral əyrisini tapın.
Qeyd edək ki, törəməyə nəzərən həll olunmuş birtərtibli diferensial tənliyi həmişə
 (3)
diferensial şəkildə yazmaq olar. Doğrudan da (2) tənliyini
 
kimi yazıb, orada  və  qəbul etsək (3) şəklində diferensial tənlik alınar.
3. Dəyişənlərinə ayrıla bilən diferensial tənliklər.
►Tutaq ki, M(x) və  funksiyaları uyğun olaraq (a,b) və (c,d ) intervalında kəsilməzdir. Bu halda
 (1)
tənliyinə dəyişənlərinə ayrılmış diferensial tənlik deyilir. (1) tənliyində dx-in əmsalı ancaq x-dən, dy-in əmsalı ancaq y-dən asılıdır.
Fərz edək ki,  funksiyası (1) tənliyinin həllidir. Onda həmin funksiya (1) tənliyini eyniliyə çevirir:
 (2)
Bu eyniliyi inteqralladıqda
 (3)
münasibəti alınar, burada S ixtiyari sabitdir. Buradan aydındır ki, (3) tənliyi (1) tənliyinin bütün həllərini təyin edir. Buna görə də (3) münasibətinə (1) tənliyinin ümumi inteqralı deyilir.
►Fərz edək ki, M1(x), M2(x), N1(y), N2(y) funksiyaları kəsilməzdir. Bu halda
 (4)
tənliyinə dəyişənlərinə ayrılan tənlik deyilir. Bu tənliyi həll etmək üçün onun hər iki tərəfini N1(y) M2(x) 0 hasilinə bölək:
Dəyişənlərinə ayrılmış bu tənliyin ümumi inteqralı
 (5)
olar. (4) tənliyinin (5) ümumi inteqralından alınmayan başqa həlləri də ola bilər. Belə həllər N1(y) M2(x) = 0 bərabərliyinin ödənildiyi nöqtələr içərisində olar
(N1( y) = 0, M2(x) = 0).
Misal. x = 5, y = 1 başlanğıc şərtini ödəyən  diferensial tənliyinin həllini tapmalı.
 ,
(x – 1)dx + ( y + 2)dy = 0 ,
 ,
 ( ).
Mərkəzi O(1,–2) nöqtəsində olan çevrələr. Xüsusi həlli tapaq üçün x = 5, y = 1 başlanğıc şərtlərdən istifadə edək:
 , 
Axtarılan xüsusi inteqral
çevrəni müəyyən edir.
4. Bircins diferensial tənliklər.
►Tərif 1. Əgər hər bir k ədədi üçün
 (1)
eyniliyi doğru olarsa, onda  funksiyasına x və y dəyişənlərinə nəzərən n dərəcəli bircins funksiya deyilir.
İndi isə
(2)
diferensial tənliyinə baxaq.
►Tərif 2. Əgər x və y dəyişənlərinin diferensiallarının M (x, y) və
N (x, y) əmsalları eyni dərəcəli bircins funksiyalar olarsa, onda (2) tənliyi birtərtibli bircins diferensial tənlik adlanır.
Bu tənliyi həll etmək üçün  , y = xz, dy = xdz + zdx əvəzləməsi vasitəsilə onu dəyişənlərinə ayrılan tənliyə gətirmək lazımdır.
İndi tutaq ki, bircins diferensial tənlik aşağıdakı şəkildə verilmişdir
 . (3)
Əgər funksiyası x və y dəyişənlərinə nəzərən sıfır dərəcəli bircins funksiya olarsa, yəni
şərti ödənilərsə, onda (3) tənliyi birtərtibli bircins diferensial tənlik olar.
Misal.  diferensial tənliyinin ümumi həllini tapmalı.
 ,
 .
 və  birdərəcəli bircins funksiyalardır. Doğrudan da,
 ,
 .
Tənliyi həll etmək üçun , y = xz, dy = xdz + zdx əvəzləməsini aparsaq, alarıq
xz lnz·dx-x(xdz+zdx)=0.
Buradan
xdz=z(lnz-1)dx,
 ,
 ,
 ,
 ,  ,
 ,  ,  .
Nəticədə baxılan tənliyin ümumi həlli  olar.
5.Birtərtibli xətti diferensial tənlik. Bernulli tənliyi.
►Axtarılan funksiyaya və onun törəməsinə nəzərən xətti olan tənliyə birtərtibli xətti diferensial tənlik deyilir və aşağıdakı kimi yazılır
 . (1)
 0 olduqda alınan
 (2)
tənliyinə (1) tənliyinə uyğun xətti bircins tənlik deyilir.  olduqda (1) tənliyi xətti bircins olmayan diferensial tənlik adlanır. (1) tənliyini müxtəlif üsullarla həll etmək olar. Bu üsullardan biri sabitin variasiyası üsuludur. Bu üsula görə əvvəlcə xətti bircins tənliyin ümumi həlli tapılır. Alınan tənlik dəyişənlərinə ayrılır
 
Sonuncu tənliyi inteqrallasaq
 ,
buradan isə (2) tənliyinin ümumi həllini alarıq:
 . (3)
İndi isə xətti bircins tənliyin (3) ümumi həllindəki ixtiyari C sabitini x-dən asılı  funksiyası hesab edək:
 (4)
y-in bu ifadəsini (1) tənliyində yerinə yazaraq sadə çevirmələrdən sonra alarıq
Buradan isə naməlum C(x) funksiyası tapılır
C(x)-in bu ifadəsini (4) bərabərliyində yerinə yazdıqda (1) tənliyinin ümumi həlli alınar:
Misal.  diferensial tənliyi həll edin.
Əvvəlcə bircins olmayan
(5)
tənliyinin uyğun
 (6)
bircins tənliyini həll edək.
 ,  ,  ,
Axırıncı bərabərlikdən verilmiş bircins diferensial tənliyin ümumi həllini tapırıq: . Burada C sabitini x-dən asılı funksiyası hesab edək, onda
 . (7)
y-in bu ifadəsini (5) tənliyində yerinə yazsaq alarıq
 .
Buradan  , yaxud  . Bu həlli (7) bərabərliyində yerinə yazdıqda (5) tənliyinin həllini alarıq
 .
►Bernulli tənliyi. Birtərtibli xətti tənliklərə gətirilə bilən bir növ tənlikdə vardır, hansılara ki, Bernulli tənliyi deyilir. Bernulli tənliyi ümümi şəkildə
y ꞌ + p(x)y = q(x)y n , n0;1 (8)
belə yazılır. Həmin tənlik z = y 1-n əvəzləməsi ilə xətti tənliyə gətirilir və daha sonra alınmış birtərtibli xətti tənliyi ikinci y = u(x)v(x) əvəvzləməsi ilə həll edirik.
Mövzu 31
| 