| 5. Qrin düsturu.
müstəvi oblastı üzrə götürülmüş ikiqat inteqralla həmin oblastın sərhədi üzrə götürülmüş əyrixətli inteqral arasında müəyyən əlaqə vardır.
Bu əlaqəni təyin etmək üçün, fərz edək ki, (Oxy) müstəvisində yerləşən oblastı düsgün (daha dəqiq desək, Ox oxuna nəzərən düzhün) oblastdır. Həmin oblast  düz xətləri,  və  əyriləri ilə əhatə olunmuşdur (şəkil 1). Bu əyrilər oblastının sərhədi olan qapalı
konturunu təşkil edir. Qeyd edək ki, konturunun A və D nöqtələri, eləcə də B və C nöqtələri üst-üstə düşə bilər.
Fərz edək ki, P(x, y), Q(x, y) funksiyaları qapalı oblastında kəsilməzdir və kəsilməyən   xüsusi törəmələri vardır. Onda ikiqat  inteqralı sonludur və onu təkrar inteqral şəklində yazmaq olar:
 Şəkil – 1
alınır. Sağ tərəfdəki inteqralları əyrixətli inteqrallarla əvəz etmək olar:
 .
Onda, DA və BC parçalarının absis oxuna perpendikulyar olmasına görə alınan
bərabərliklərinə əsasən
və ya
 (1)
münasibəti alınır.
Eyni qayda ilə, Oy oxuna nəzərən düzğün olan və qapalı konturu ilə əhatə olunmuş oblastı üçün
 (2)
düsturunu da isbat etmək olar.
Beləliklə, ixtiyari düzgün (hər iki oxa nəzərən) oblastı üçün (1) və (2) bərabərliklərinin hər ikisi doğrudur. Həmin bərabərlikləri tərəf-tərəfə topladıqda
 (3)
düsturu alınır. (3) münasibəti Qrin düsturu adlanır.
oblastı düzgün deyilsə, ıakin düzgün oblastlara ayrıla bilərsə, onda onun üçün (3) Qrin düsturu doğru olar.
Doğrudan da, tutaq ki, konturu ilə əhatə olunmuş oblastı köməkci
 xətləri vasitəsilə  düzgün oblastlarına ayrılmışdar.  oblastlarının hər biri üçün (3) Qrin düsturunu yazıb, alınan bərabərlikləri tərəf-tərəfə topladıqda, köməkçi xətlər üzrə bir-birinin əksi istiqamətində götürülmüş əyrixətli inteqrallar islah olunar. Nəticədə, oblastının birləşməsi olan oblastı üzrə götürülmüş ikiqat inteqral konturu üzrə götürülmüş əyrixətli inteqrala bərabər olar.
Qrin düsturunun doğru olduğu oblastının sərhədi bir neçə (n sayda)  konturlarından da ibarət ola bilər (şəkil 2). Bu zaman  ya çoxrabitəli (n-rabitəli) oblast, onun sərhədinə isə mürəkkəb kontur deyilir. Çoxrabitəli oblast üçün yazılmış Qrin düsturunda  inteqralı həmin  konturları üzrə götürülmüş inteqralların cəminə bərabər olur:
 .
 Şəkil – 2
Bu zaman konturları üzərində elə istiqamət, müstəvi fiqurların sahəsini hesablayaq. Tutaq ki, hər hansı düzgün oblast və onun sərhədidir. Məlumdur ki, onun S() sahəsi ikiqat inteqralla
S()=
kimi hesablanır. Onda Qrin düsturuna görə
olar. Buradan oblastının S() sahəsini hesablamaq üçün simmetrik
S()=  (4)
düsturu alınır.
|
