Misal.  parabolasının O (0, 0) və A (1, ) nöqtələri ilə məhdud OA hissəsi üzrə (şəkil 3) götürülmüş
əyrixətli inteqralını hesablamalı.
(8) düsturuna görə
►Əyrixətli inteqrallar bir sıra məsələlərin həllində tətbiq olunur. Burada birinci növ əyrixətli inteqral vasitəsilə maddi AB əyrisinin kütləsi hesablanır.
Tutaq ki, hamar və ya hissə-hissə hamar maddi AB əyrisinin xətti sıxlığı  ilə işarə olunmuşdur.
AB əyrisinin  nöqtələri vasitəsilə kiçik  hissəsi üzərində ixtiyari  nöqtəsi götürək və fərz edək ki, qövsünün bütün nöqtələrində xətti sıxlıq  kəmiyyətinə bərabərdir. Onda maddi qövsünün kütləsi  olar (
Buna görə də maddi AB əyrisi üzərində paylanmış kütlə təqribi olaraq
bərabərliyi ilə hesablanar. Bu bərabərlikdə aparılan bölgünün 
 parametrinin sıfra yaxınlaşması şərtində limitə keçdikdə maddi AB əyrisinin dəqiqi kütləsi alınır:
Nəhayət qeyd edək ki, üçölçülü fəzada yerləşən əyrilər üzrə götürülmüş birinci növ əyrixətli inteqrallara baxmaq, onların hesablanmasından xassələrindən və tətbiqlərindən danişmaq olar.
3. II növ əyri xətli inteqral və onun hesablanması.
Tutaq ki, (Oxy) müstəvisində yerləşən istiqamətlənmiş  əyrisi və bu əyri üzərində kəsilməyən P (x, y) funksiyası verilmişdir. əyrisini
nöqtələri vasitəsilə  kimi kiçik hasillərə bölək. əyrisinin (1) bölgüsündən (bu bölgünü T ilə işarə edək) alınan qövsünun uzunluğu  olsun.  ədədlərinin ən böyüyü T bölgüsünün parametri adlanır və λ(T) ilə işarə olunur:
 Şəkil – 4
Bölgüdən alınan hər bir hissəsi üzərində bir nöqtəsini götürək və aşağıdakı kimi inteqral cəmi düzəldək:
 . (2)
Burada  ilə qövsünün Ox oxu üzərində proyeksiyası işarə olunmuşdur (şəkil 4).
Tərif. (2) cəminin  şərtində sonlu limiti varsa, həmin limitə P(x, y) funksiyasının  ilə işarə olunur:
 (3)
AB əyrisi üzərində təyin olunmuş kəsilməyən Q(x, y) funksiyasının y dəyişəninə görə ikinci növ
 (4)
əyrixətli inteqralı da analıji olaraq təyin olunur.
(3) və (4) inteqrallarının cəmi ikinci növ ümumi əyrixətli inteqral adlanır və
 (5)
kimi işarə olunur.
Tərifdən aydındır ki, ikinci növ əyrixətli inteqralların qiyməti əyrinin istiqamətindən asılıdır:
 . (6)
Doğrudan da, qövsünun (Ox) oxu üzərində proyeksiyası  olduğu halda, qövsünun həmin ox üzərində proyeksiyası  olar. Buna görə də AB əyrisini (1) bölgüsünü tərsinə nömrələsək (yəni BA əyrisinin kiçik hissələrə bölsək) və uyğun (2) cəmini düzəltsək, onda
münasibəti və buradan da limitə keçdikdə
bərabərliyi alınır. Bu mühakimə (4) inteqralı üçün də doğrudur.
Qeyd edək ki, analoji olaraq üçölçülü fəzada yerləşən AB əyrisi üzərində təyin olunmuş  və  funksiyaları üçün
 (7)
kimi ikinci növ ümumi əyrixətli inteqralıda təyin olunur. Bundan sonra (5) və (7)
əyrixətli inteqrallarını sadəcə olaraq
 və  (8)
kimi yazacağıq.
Qapalı konturu üzrə götürülmüş əyrixətli inteqrallar uyğun olaraq
 və 
kimi yazılır. Bu inteqrallar konturunun müsbət istiqaməti üzrə götürülmüş hesab edilir. konturunun mənfi istiqaməti üzrə götürülmüş inteqral üçün isə
münasibəti doğru olar.
| 