Tam diferensiallı tənliklər. Yüksək tərtibli diferensial
tənliklər.
1. Tam diferensiallı tənliklər. İnteqrallatıcı vuruq.
2. Tənliyin tərtibinin azadılması halları.
3. Hasil və qismətin diferensialını daxilinə alan tənliklər.
1. Tam diferensiallı tənliklər. İnteqrallatıcı vuruq.
►Tutaq ki,
p(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 (1)
diferensial tənliyin sol tərəfi hər hansı u(x,y) funksiyasının tam diferensialıdır. Onda bu diferensial tənlik tam diferensiallı adlanır.
Tam diferensiallıq. Tərifə əsasən
p(x,y)dx + Q(x,y)dy = du(x,y) =  dx +  dy (2)
buradan.
p(x,y) = , Q(x,y)=
Birinci bərabərlikdən y-ə, ikincidən x-ə nəzərən xüsusi törəmə alaq.
 =  ,  =
Şvars teoreminə görə
=
Odur ki,
= (3)
bərabərliyi (1) tənliyinin tam diferensiallıq şərti adlanır. Bu bərabərlik ödənildikdə axtarılan u(x) funksiyasını tapmaq olur. Onda (1) diferensial tənliyi du(x,y) = 0, bunun həlli isə u(x,y) = c olar.
Misal 1.
(3x2 + 6xy2)dx + (6x2y + 4y3)dy = 0
p = 3x2 + 6xy2 , Q = 6x2y + 4y3
= 12xy , = 12xy
Tam diferensiallıq şərti ödəndi. Odur ki,
= 3x2 + 6xy2, hər tərəfi dx vurub inteqrallayaq:
 = 
u(x,y) = x3 + 3x2y2 + φ(y)
(φ(y) hələlik məlum olmayan funksiyadır).
Hər tərəfdən y-ə nəzərən törəmə alaq.
= 6x2y + φꞌ(y), = Q olduğundan
6x2y + 4y3 = 6x2y + φꞌ(y)
φꞌ(y) = 4y3 , φ(y) = y4
u(x,y) = x3 + 3x2y2 + y4
alınır və verilmiı tənliyin ümumi inteqralı.
x3 + 3x2y2 + y4 = c
►Tutaq ki, (1) tənliyi tam diferensiallı deyil. Yəni 93) şərti ödənilmir. Bəzi hallarda elə μ(x,y) funksiyası tapmaq olur ki, (1) tənliyinə vurmaqla tənlik tam diferensiallı olur. Yəni
və ya
Q p =  ,
buradan
Q  (4)
Göründüyü kimi xüsusi törəməli diferensial tənlik alındı. Odur ki, xüsusi hallarda baxaq, hansı ki, inteqrallayıcı vuruğu nisbətən asan tapmaq olur
1) μ = μ(x) onda = 0 və (4) tənliyi
 =  (5)
şəklinə düşür. Inteqrallayıb, nəticədə
ln μ(x) =  , μ(x)=  (6)
tapırıq.
Misal 2.
(2x2y + 2y + 5)dx + (2x3+ 2x)dx
(5) düsturunu tədbiq edək.
 =  · (2x2 + 2 – 6x2 – 2) = h(x)
h(x) = -  =  , demək
ln μ(x) = =  =  =  -1
μ(x) = .
tənliyi μ(x)-ə vuraq
 dx +  dy = 0
 = 2x
dy = 2xdy , u(x,y) = 
Buradan, = 2y +  = – 2y = 
=  =
 =  .
Beləliklə, u(x,y) = 2xy + 5arctgx alınır.
Tənliyin ümumi inteqralı 2xy + 5arctgx = c ; x=0
|
