Tərif 1. (2) və (3) şərtləri (1) tənliyi üçün başlanğıc şərtlər adlanır. (1) tənliyinin (2) və (3) başlanğıc şərtlərini ödəyən həllinin tapılmasına həmin tənlik üçün Koşi məsələsi deyilir.
►Sərhəd şərtləri rəqs zamanı baxılan oblastın sərhəd nöqtələrində simin vəziyyətini göstərir. Simin sol ucu x = a nöztəsinə və sağ x = b nöztəsinə bərkidildikdə rəqs zamanı bu nöqtələr hərəkət etmir. Buna görə də simin üç nöqtələrinin Ox oxundan olan meyli sıfra bərabər olur:
 . (4)
Tərif 2. Bu şərtlərə (1) tənliyi üçün sərhəd şərtləri deyilir. (1) tənliyinin (2), (3) başlanğıc və (4) sərhəd şərtlərini ödəyən həllinin axtarılmasına həmin tənlik üçün qarışıq məsələ deyilir.
►Tutaq ki, uzunluğu sonsuz olan simə baxılır. Belə simin hər hansı sonlu hissəsinin hərəkətinə “uclarının” təsiri ola bilməz.
Simin uzunluğu çox böyük olduqda daxili nöqtələrin hərəkətinə üc nöqtələrinin təsiri çox kiçik olur, bunu isə nəzərə almamaq olar. Buna görə də sonsuz simin eninə sərbəst rəqslərinin (1) tənliyini həll edərkən heç bir sərhəd şərti qoyulmur, ancaq (2) və (3) başlanğıc şərtləri qoyulur. Lakin bu halda, (2) və (3) şərtlərində iştirak edən f (x) və F(x) funksiyaları bütün ədəd oxunda təyin olunur.
Sonsuz simin sərbəst rəqs tənliyi üçün söylədiyimiz şəkildə qoyulmuş Koşi məsələsinin müəyyən şərtlər daxilində yeganə həlli vardır. Məsələn, f (x) funksiyası iki dəfə diferensiallanan və F(x) funksiyası diferensiallanan olduqda (1) tənliyinin (2) və (3) başlanğıc şərtlərini ödəyən yeganə həlli vardır. Bu həlli Dalamber üsulu ilə tapmaq olar.
5. Sonlu simin sərbəst rəqs tənliyinin Furye üsulu ilə həlli.
Tutaq ki, sonlu simin uc nöqtələri Ox oxunun x = O və x = l nöqtələrinə bərkidilmişdir. Bu simin
 (1)
U
0 l x
sərbəst rəqs tənliyinin
 (2)
 (3)
başlanğıc və
 (4)
sərhəd şərtlərini ödəyən həllini tapaq. Qoyulmuş qarışıq məsələ burada Furye üsulu(və ya dəyişənlərə ayırma üsulu) ilə həll etmək üçün bu üsuldan geniş
istifadə olunur.
Bu üsulun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, (1) tənliyinin axtarılan (eyniliklə sıfra bərabər olmayan) U(x,t) həlli biri ancaq x-dən, digəri isə ancaq t-dən asılı olan T(t) və X(x) şəklində iki funksiyanın hasili şəklində axtarılır:
 . (5)
Bu qiyməti (1) tənliyində yerinə yazdıqda
və ya
 (6)
bərabərliyi alınır. (6) bərabəriyinin sol tərəfi t-dən, sağ tərəfi isə x-dən asılı deyildir. Bu o zaman olar ki, həmin bərabərliyinin hər iki tərəfi nə x-dən, nə də
t-dən asılı olmasın. Onda,
 (7)
olar ( μ hər hansı sabit ədəddir). (7) bərabərliklərindən iki dənə adi diferensial tənlik alınır:
 (8)
 (9)
(1) tənliyinin axtarılan (5) həlli t-nın istənilən qiymətində (4) sərhəd şərtlərini ödəməlidir:
Bu bərabərliklərin ödənilməsi üçün ya istənilən t üçün  olmalı, ya da
 (10)
olmalıdır.  olduqda (5) həlli eyniliklə sıfra bərabər olar ki, belə həlli də biz axtarmırıq. Beləliklə, ikitərtibli (8) xətti tənliyinin (10) sərhəd şərtlərini ödəyən həllini tapmaq lazımdır.
Eyniliklə sıfra bərabər olan  funksiyası məsələsinin həllidir. Lakin bizi məsələnin sıfır olmayan həlli maraqlandırır. Beləliklə (8) tənliyi üçün  parçasında Spektr məsələsi və ya Şturm-Liuvil problemi adlanan aşağıdakı məsələni həll etmək lazımdır: μ-nun hansı qiymətlərində (8) tənliyinin (10) sərhəd şərtlərini ödəyən sıfır olmayan həlli var?
Bu məsələnin həlli olan μ ədədlərinə Şturm-Liuvil məsələsinin məxsusi ədədləri, tənliyin həmin ədədlərə uyğun olan həllərinə isə məsələnin məxsusi funksiyaları deyilir.
Şturm-Liuvil məsələsinin μ-nun hansı qiymətlərində sıfır olmayan həlli olduğunu müəyyən etmək üçün (8) tənliyinin
 (11)
xarakteristik tənliyinə baxaq.
1. Tutaq ki,  Onda (11) tənliyinin kökləri  və  olar. Bu halda (8) tənliyinin ümumi
şəklində yazılır.  və  ( alınar.  olduğundan  və buna görə də  olar.
Deməli,  olduqda məsələnin eyniliklə sıfra bərabər olmayan həlli yoxdur.
2. Tutaq ki,  . Onda (11) tənliyinin kökləri  və (8) tənliyinin ümumi həlli.
olar. Bu həllin (10) şərtlərini ödəməsindən, yenə də
və ya alınır.
Deməli, bu halda da məsələnin sıfır olmayan həlli yoxdur.
3. Tutaq ki,  . Bu halda (11) xarakteristik tənliyinin kökləri  və (8) tənliyinin ümumi həlli
olar. (10) şərtlərinə görə
olmalıdır. Burada  olması üçün
bərabərlikləri ödənilməlidir. Deməli, (8) tənliyinin eyniliklə sıfır olmayan həlli  nın
 (12)
qiymətlərində alınır. (8) tənliyinin bə ədədlərə uyğun olan və (10) şərtlərini ödəyən həlləri
 (13)
olar( burada  ixtiyari sabitdir). Buradan aydındır ki,  ədədləri (8) tənliyi üçün yuxarıda qoyulmuş Şturm-Liuvil məsələsinin məxsusi ədədləri, (13) funksiyaları isə həmin ədədlərə uyğun məxsusi funksiyalardır.
 qiymətlərində (9) tənliyi
şəklində yazılar. Onun ümumi həlli
 (14)
olar. ( və  ixtiyari sabitlərdir).
(13) və (14) qiymətlərini (5) bərabərliyində yazmaqla, (1) tənliyinin (4) sərhəd şərtlərini ödəyən
və ya
  (15)
xüsusi həlləri alınır ( (1) tənliyi xətti bircinsli olduğundan onun (4) sərhəd şərtlərini ödəyən emumi həlli
 (16)
kimi yazılır. Bu həllə daxil olan  və  əmsallarını (2) və (3) başlanğıc şərtlərinə əsasən tapmaq olar.
Doğrudan da, (2) və (3) şərtlərinə əsasən alınan
bərabərlikləri göstərir ki, və  kəmiyyətləri uyğun olaraq f (x) və F(x) funksiyalarının (O, l ) intervalında sinuslar üzrə Furye sırasına ayrılışının əmsallarıdır. Bu əmsallar.
 ,
düsturları ilə təyin olunur.
Əmsallar üçün tapılmış bu qiymətləri (16) sırasında yerinə yazdıqda qoyulmuş məsələnin tam həlli alınır.
Qeyd edək ki, yuxarıda aparılan əməllərin doğru olması üçün f (x) və F(x) funksiyaları müəyyən şərtləri ödəməlidir. Burada həmin şərtlərin ödənildiyi fərz olunur.
Mövzu 37
| 