Laplas çevirməsi və onun xassələri. Operasiya hesabının
məsələləri.
1. Orijinal və surət anlayışı.
2. Laplas çevirməsinin varlığı və yeganəliyi.
3. Bəzi funksiyaların Laplas çevirməsi.
4. Laplas çevirməsinin xassələri.
5. Laplas çevirməsinin tərsi.
1. Orijinal və surət anlayışı.
Tutaq ki, bütün həqiqi oxta təyin olunmuş  funksiyası üçün aşağıdakı şərtlər ödənilir:
►1. Arqumentin mənfi qiymətlərində, yəni  olanda  olur.
►2. İstənilən sonlu parçada ən çoxu sonlu sayda birinci növ kəsilmə nöqtəsi vardır, yəni hissə-hissə kəsilməyəndir.
►3. Elə sabit və M ədədləri vardır ki, t-nın bütün  qiymətlərində
 , (1)
bərabərsizliyi ödənilir.
Bu şərtləri ödəyən hər bir funksiya orijinal və ya başlanğıc funksiya adlanır.
Verilmiş orijinal funksiyası üçün (1) bərabərsizliyini ödənildiyi ədədlərinin dəqiq aşağı sərhədinə, yəni  ədədinə həmin funksiyanın artma göstəricisi deyilir. Qeyd edək ki, (1) bərabərsizliyi  artma göstəricisi üçün ödənilməyədə bilər.
Verilmiş orijinal funksiyası üçün
 (2)
bərabərliyi ilə təyin olunan kompleks dəyişənli F(p) funksiyasına onun Laplas çevirməsi və ya Laplas surəti ( surəti) deyilir və
kimi işarə olunur.
(2) inteqralı qeyri-məxsusi inteqraldır. Ona Laplas inteqralı deyilir.
Verilmiş orijinalın 𝛬-surətini və tərsinə, verilmiş 𝛬-surətə görə orijinalı tapmaq məsələləri ilə operasiya hesabı məşğul olur. Operasiya hesabının əsasına Qevisayd qoymuşdur. Lakin operasiya hesabı, elmi şəkildə XX əsrin 20-ci illərində əsaslandırılmışdır.
Operasiya hesabı bir çox məsələlərin həllində geniş tədbiq olunur. Bunun səbəbi odur ki, operasiya hesabında inteqrallama və diferensiallama əməlləri cəbri əməllərlə, edilir. Cəbri tənliyin tapılmış həllinə görə diferensial tənliyin axtarılan həlli qurulur.
2. Laplas çevirməsinin varlığı və yeganəliyi.
İndi Laplas çevirməsinin varlığı haqqında aşağıdakı teoremi isbat edək.
Teorem 1. Tutaq ki,  ədədi orijinal 
funksiyasının artma göstəricisidir. Onda (2) (p)
Inteqralı  yarımmüstəvisində və
F(p) funksiyası oblastda analitikdir. 0 
Teorem 2. (yeganəlik).  oblastında kəsilməyən və eyni Laplas çevirmələri olan f(t) və φ(t) funksiyaları eyniliklə bərabərdir: f(t) φ(t.
3. Bəzi funksiyaların Laplas çevirməsi.
Bir sıra funksiyaların Laplas çevirməsini hesablamaq olar.
►1. Qevisayd funksiyası (və ya vahid funksiya) adlanan və
 (1)
Kimi təyin olunan funksiyanın Laplas çevirməsi  yə bərabərdir:
və ya
 . (2)
►2.  funksiyasının Laplas çevirməsi  funksiyasına bərabərdir:
 . (3)
Doğurdan da,
 .
►3.  funksiyasının Laplas çevirməsi  bərabərdir:
 (4)
Doğrudan da,
 .
olar.
4.  funksiyasının Laplas çevirməsi  ifadəsinə bərabərdir:
 (5)
Bu bərabərliyin doğruluğu
münasibətindən aydındır.
5.  funksiyasının Laplas çevirməsi  funksiyasına bərabərdir:
 = . (6)
Doğrudan da,
və ya
Bərabərliyini n dəfə ardıcıl tətbiq etdikdə (6) bərabərliyi alınır.
4. Laplas çevirməsinin xassələri.
Laplas çevirməsinin əsas xassələrini ifadə edən aşağıdakı xassələrdən baxılan bütün funksiyaların orijinal olduğu qəbul olunur.
| 