Teorem 2. Əgər (b, c) intervalının bütün nöqtələrində f (x) funksiyanın ikinci tərtib törəməsi müsbətdirsə  , onda y = f (x) əyrisi bu intervalda çökükdür.
Tərif 3. Kəsilməz əyrinin qabarıq hissəsini çökük hissəsindən ayıran nöqtəyə onun əyilmə nöqtəsi deyilri.
Aydındır ki, əyilmə nöqtəsində toxunan əyrini kəsir, çünkü bu nöqtədən bir tərəfdə əyri toxunanda aşağıda, digər tərəfdə isə yuxarıda yerləşir.
Teorem 3. Tutaq ki, əyri y = f (x) tənliyi ilə verilmişdir və f ꞌꞌ(a) = 0, yaxud
f ꞌꞌ(a) yoxdur. Əgər x = a nöqtəsindən keçəndə f ꞌꞌ(x) törəməsi öz işarəsini dəyişirsə, onda əyrinin bu nöqtəsi əyilmə nöqtəsidir.
4. Asimptotlar.
Bir çox hallarda dəyişən nöqtənin absisinin, yaxud ordinatının və ya həm absisinin, həm də ordinatının birlikdə qeyri-məhdud artdığı (mütləq qiymətcə) yerlərdə y = f (x) əyrisinin formasını və deməli uyğun funksiyasının dəyişməsinin xarakterini tədbiq etmək lazım gəlir. Burada isə vacib xüsusi hal, dəyişən nöqtənin sonsuzluğa getməsi (yaxınlaşması) ilə həmin əyrinin müəyyən bir düz xəttə sonsuz yaxınlaşmasıdır.
Tərif. Əyri üzərindəki M dəyişən nöqtəsi sonsuzluğa yaxınlaşarkən, həmin M nöztəsindən A düz xəttinə qədər olan d məsafəsi sıfıra yaxınlaşarsa, onda A düz xəttinə həmin əyrinin asimptotu deyilir ( şəkil 1)
y Asimptot
d M (x,y)
0 x
( Şəkil 1)
Biz şaquli – ordinat oxuna paralel olan və maili – ordinat oxuna paralel olmayan asimptotları nəzərdən keçirəcik.
I. Şaquli asimptotlar. Asimptotun tərifinə əsasən x = a düz xətti y = f (x) əyrisinin asimptotudursa, onda
 , və ya 
münasibətlərindən biri ödənilməlidir və əksinə, həmin münasibətlərindən biri ödənildikdə x = a düz xətti asimptotdur.
Deməli, şaquli asimptotları tapmaq üçün elə x = a qiymətlərini tapmaq lazımdır ki, x bu qiymətlərə yaxınlaşdıqda y = f (x) funksiyası sonsuzluğa yaxınlaşsın. Bu halda x = a düz xətti şaquli asimptot olar.
II. Maili asimptotlar. Tutaq ki, y = kx + b düz xətti y = f (x) əyrisinin maili asimptotudur.
Tərif. y = kx + b düz xəttinin x  şərtində y = f (x) əyrisinin maili asimptotu olması üçün
və ya
f (x) = kx + b + a(x) , a(x)  (
şərtinin ödənilməsi zəruri və kafi şərtdir.
Teorem. y = kx + b düz xəttinin x şərtində y = f (x) əyrisinin maili asimptotu olması üçün
 və 
limitlərinin ikisinin də varlığı zəruri və kafi şərtdir.
Misal. y = əyrisinin asimptotlarını tapmaq. Əvvəlcə maili asimptotu axtaraq:
və
olduğundan y = 3x + 1 düz xətti əyrinin maili asimptoru olar.
x = 1 düz xəttinin isə həmin əyrinin şaquli asimptoru olması
bərabərliyindən alınır.
►Funskiyanın tədqiqi və qrafikinin qurulmasının ümumi sxemi.
ꞌꞌ Funksiyanın tədqiqi ꞌꞌ dedikdə, adətən aşağıdakıları tapmaq nəzərdə tutulur:
1) funksiyanın təyin oblastını;
2) funksiyanın kəsilmə nöqtələrini;
3) funksiyanın artma və azalma intervallarını;
4) maksimum və minimum nöqtələrini, eləcə də funksiyanın maksimum və minimum qiymətlərini;
5) qabarıq və çöküklük intervallarını, əyilmə nöqtələrini;
6) funksiya qrafikinin asimptotlarını.
Aparılmış tədqiqata əsasən funksiyanın qrafiki qurulur.
Mövzu 15
Funksiyanın differensial
1. Diferensialın tərifi.
2. Diferensialın həndəsi mənası.
3. Diferensialın mexaniki mənası.
4. Diferensialların hesablanma düsturları.
5. Yüksək tərtibli diferensiallar.
1. Diferensialın tərifi.
 funksiyası ( a, b ) intervalında diferensiallanandır.
Tərif . Diferensiallanan funksiyasının x nöqtəsində ki, artımının baş hissəsinə yəni -dən xətti asılı olan  ifadəsinə onun x nöqtəsində diferensialı deyilir. funksiyasının x nöqtəsində diferensialı və  ilə işarə olunur.
 və yaxud 
2. Diferensialın həndəsi mənası.
M(x, y) nöqtəsi götürək. Bu nöqtədə funksiya qrafikinə çəkilən toxunan MT düz xətti olsun . Absis oxu üzərindəki,  nöqtəsindən ordinat oxuna paralel qaldırılan düz xətt MT toxunanını M nöqtəsində kəsər.
Düzbucaqlı NMQ -da
 törəmənin həndəsi mənasına görə  olduğundan ;
 (1)
NQ kəmiyyəti, x absisi  artımını aldıqda MT toxunanı ordinatı-
nın aldığı artımdır. (1) bərabərliyindən funksiya diferensialının
həndəsi mənası alınır.
 funksiyasının x nöqtəsində diferensialı , funksiyanın qra-
fikinə M(x,y) nöqtəsində çəkilmiş toxunanın toxunma nöqtəsinin
absisi artımı aldıqda ordinatının aldığı artıma bərabərdir
3. Diferensialın mexaniki mənası.
Tutaq ki, hər hansı cisim düz xətt boyunca hərəkət edir və diferensiallanan  funksiyası onun hərəkət qanunudur. Aydındır ki, cisim t anından  anına qədər olan müddətdə
qədər yol gedər. Hərəkətin t anında sürətinin  olması məlumdur. Deməli əgər hərəkət edən cismin bütün zaman fasiləsində sürəti sabit olub t anındakı, sürətinə bərabər olsa idi, onda cisim həmin müddətdə
 (1)
qədər məsafə getmiş olardı . Bu , s(t) funksiyası diferensialının mexaniki mənasını ifadə edir.
4. Diferensialların hesablanma düsturları.
Həm törəmə alma və həmdə diferensialı tapma əməllərinə diferensiallama əməli deyilir. Tutaq ki, diferensiallanan  və  funksiyaları verilmişdir. Onların diferensialı
şəklində olduğundan funksiyanın cəminin , fərqinin , hasilinin və nisbətinin diferensialını hesablamaq üçün
düsturlarını alarıq.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
 
 
 
5. Yüksək tərtibli diferensiallar.
Tutaq ki, diferensiallanan funksiyalardır və x arqumenti sərbəst dəyişəndir. Onda funksiyanın diferensialı
 (1)
olar.
Funksiya diferensialının diferensialına həmin funksiyanın ikitərtibli və yaxud ikinci diferensialı deyilir və  və s. işarə olunur.
 və ya 
Deməli ;
Mövzu 16
| 