İsbatı. Teoremin şərtindən aydındır ki,  çünki əks halda , yəni  olduqda Roll teoreminə görə bir nöqtəsindən  olar ki, buda şərtə ziddir. Indi aşağıdakı kimi köməkçi funksiya düzəldək;
 (2)
F(x) funksiyası  -da kəsilməyəndir, (a,b) intervalında diferensiallanandır və parçanın uc nöqtələrində sıfra bərabərdir;
Onda Roll teoreminə görə onun
törəməsi (a, b) intervalının bir nöqtəsində sıfra bərabər olar;
Buradan (1) bərabərliyi alınır.
2. Qeyri-müəyyənliklərin açılışı, Lopital qaydası.
► şəkildə qeyri-müəyyənliyin açılışı.
Teorem 1. ( Lopital qaydası.) Tutaq ki,  və  funksiyaları x=a nöqtəsinin müəyyən ətrafında (a nöqtəsini müstəsna olmaqla) təyin olunmuş , diferensiallanan,
 (1)
və  ( a nöqtəsi həmin ətrafında) şərtlərini ödəyən funksiyalardır. Əgər funksiyaların törəmələri nisbətinin
 (2)
Limiti varsa, onda funksiyalarının özlərinin də nisbətinin limiti var və həmin ədədə bərabərdir;
 (3)
►şəklində qeyri-müəyyənliyin açılışı.
Teorem 2.( Lopital qaydası.) Tutaq ki, və funksiyaları x=a nöqtəsinin müəyyən ətrafında (a nöqtəsi müstəsna olmaqla) təyin olunmuş , diferensiallanan və ( a nöqtəsi həmin ətrafında) şərtlərini ödəyən funksiyalardır;
 (4)
Əgər funksiyaların törəmələri nisbətinin
(5)
limiti varsa, onda funksiyaların özlərinin də nisbətinin limiti var və həmin ədədə bərabərdir ;
(6)
3. Teylor düsturu.
Tutaq ki,  (1)
n dərəcəli çoxhədli və a hər hansı həqiqi ədəddir. P (x) çoxhədlisini həmişə x-a fərqinin qüvvətlərinə görə yazmaq olar.
 (2)
bərabərliyinə çoxhədli üçün Teylor düsturu deyilir a=0 olduqda Teylor düsturunun xüsusi halını alarıq ;
 (3)
Bu düstura çoxhədli üçün Makloren düsturu deyilir.
Mövzu 14
Funksiyanın maksimumu və minimumu. Ekstremum.
1. Funksiyanın artması və azalması şərtləri.
2. Ekstremumun varlığı üçün şərtlər.
3. Əyrinin qabarıq və çöküklüyu. Əyilmə nöqtəsi.
4. Asimptotlar.
1. Funksiyanın artması və azalması şərtləri.
Teorem. 1)  parçasında törəməsi olan f (x) funksiyası həmin parçada artandırsa, onda parçasında onun törəməsi mənfi deyil, yəni, f ꞌ(x)  ;
2) Əgər f (x) funksiyası parçasında kəsilməz, (a, b) intervalında isə diferensiallana biləndirsə və f ꞌ(x)  olarsa, onda həmin funksiya parşasında artandır.
İsbatı. Əvvəlcə teoremin birinci hissəsini isbat edək. Tutaq ki, f (x) funksiyası parçasında artir. x arqumentinə ∆x artımı verib
 (1)
Nisbətinə düzəldək. f (x) artan funksiya olduğunda
 olduqda 
və
 olduqda isə 
Hər iki halda
 (2)
və deməli,
 ,
yəni f ꞌ(x) olur.
Indi teoremin ikinci hissəsini isbat edək. tutaq ki, arqumentin (a, b) intervalından götürülmüş ixtiyari x qiymətində f ꞌ(x) .
parçasında yerləşən istənilən x1 və x2 (x1 x2) götürək. Laqranj sonlu fərglər teoreminə görə
 ,  .
Şərtə görə f ꞌ( ) olduğundan  . Bu isə o deməkdir ki,
f (x) artan funksiyadır.
Azalan (diferensiallana bilən) funkiya üçün də oxşar teorem doğrudur.
|
