| 6. Düz xəttin normal tənliyi.
Müstəvi üzərində (0×y) koordinat sistemi və ∀ L düz xətti götürək. Koordinat başlanğıcını polyus və absis oxunu polyar ox hesab etsək , alınan polyar koordinat sistemində L düz xəttinin tənliyi
ρ cos(α-φ)=p (1)
olacaqdır. (1) tənliyinin sol tərəfini açsaq
ρ cosφ∙cosα+ρ sinφ∙sinα=p
və polyar koordinatlarla düzbucaqlı koordinatlar arasındakı x=ρcosφ və y=ρsinφ əlaqə düsturlarından istifadə etsək
xcosα+ysinα-p=0 (2)
tənliyini alarıq. Bu tənlik düz xəttin normal tənliyi və ya düz xəttin tənliyinin normal şəkli adlanır. P və α ədədlərinə normal tənliyin parametirləri deyilir.
7. Nöqtədə düz xəttə gədər olan məsafə.
Verilmiş Mo (xo, yo) nöqtəsindən Ax + By + C =0 (1) düz xəttə qədər olan məsafəni tapmaq üçün əvvəlcə düz xəttin (1) tənliyini normal şəklə salmaq , hər iki tərəfini μ ədədinə vururlar.
Bu tənliyin normal tənlik olması üçün
olmalıdır. Birinci iki bərabərlikdən μ vuruğunu tapaq;
μ = 
μ ədədinə normallaşdırıcı vuruq deyilir. (1) tənliyini normal şəklə gətirdikdən sonra M0 (x0, y0 ) nöqtəsindən həmin düz xəttə qədər olan məsafə
düsturu ilə hesablanır.
Mövzu 7
İkitərtibli əyrilər.
1. Ellips (kanonik tənliyi).
2. Hiperbola (kanonik tənliyi).
3. Parabola (kanonik tənliyi).
1. Ellips (kanonik tənliyi).
►Tərif. Müstəvi üzərində fokus adlanan verilmlş iki və nöqtəsindən məsafələrinin cəmi sabit ədəd olan nöqtələrin həndəsi yerinə ellips deyilir.
Ellipsin tənliyini çıxarmaq üçün müstəvi üzərində düzbucaqlı koordinat sistemi götürək və ellepsin fokuslarının absis oxu üzərində koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrik yerləşdiyini fərz edək.
Onda ellips üzərində yerləşən  nöqtəsi üçün ;
 (1)
Burada 2a ilə tərifdə göstərilən sabit ədəd işarə olunmuşdur.
qəbul etsək , onda
  və 
olar. Bu halda iki nöqtə arasındakı məsafə düsturuna görə
 və 
(1) bərabərliyinə əsasən B2
 +  =2a (2)
Bu ellipsin axtarılan tənliyidir. Ellipsin (2) tənliyini sadə şəklə gətirmək üçün onu radikallardan qurtardıqdan sonra
 olar.
Buradan
 (3)
 olduğundan  qəbul etmək olar. Onda (3) tənliyi
 (4)
şəklində yazılar. (4) tənliyinə ellipsin kanonik tənliyi deyilir.
y
B1
b
F2 F1 x
A2 0 A1
a
B2
►Elipsin forması a / b nisbətindən və ya ellipsin ekssentrisiteti adlanan
 = 
adlanan kəmiyyətdən asılıdır.  olduğundan  olar. b = a olduqda (yəni  ) kanonik tənliyi
x2 + y2 = a2 (5)
kimi çevrə tənliyinə çevrilir, yəni ellips a radiuslu çevrəyə çevrilir.
Ellipsın fokuslarını yerləşdiyi simmetriyaya oxuna onun fokal oxu deyilir. Kanonik tənliyi üçün fokal ox absis oxudur.
Ellipsin fokal oxuna perpendikulyar olan x =  və x =  düzxətləri onun direktrisləri adlanır. olduqundan  olar. Deməli, ellipsin ditektrislərinin biri A1 təpəsinin sağında, obiri isə A2 təpəsinin solundan keçir və ellipsı kəsmillər.
2. Hiperbola (kanonik tənliyi).
►Tərif. Fokus adlanan verilmiş iki F1 və F2 nöqtəsindən məsafələrinin fərqi mütləq qiymətcə sabit kəmiyyət olan nöqtələrin həndəsi yerinə hiperbola deyilir.
y
r2 M
r1
F2 A2 0 A1 F1 x
Hiperbolanın tənliyini çıxarmaq üçün yenədə tərifdə göstərilən müsbət sabiti 2a , fokuslar arasındakı məsafəni 2c və fokusların absis oxu üzərində koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrik yerləşdiyini qəbul edək. Onda tərifə görə F1( c; o), F2( -c; o) və M( x,y) nöqtələri üçün
 və ya 
buradan
  = (1)
tənliyi hiperbolanın axtarılan tənliyidir. Bu tənliyi ellipsin tənliyi kimi sadələşdirsək, yenə də
(2)
münasibətini alarıq. Bu halda  olduğundan  qəbul edərək (2) tən-liyini
 (3)
şəklində yazmaq olar. (3) tənliyinə hiperbolanın kanonik tənliyi deyilir.
►Hiperbolanın asimptodlarının tənlikəri  və  x bunlardır.
Koordinat oxları hiperbolanın simmetriya oxlarıdır.
Hiperbolanın simmetriya oxlarının kəsişmə nöqtəsinə onun mərkəzi deyilir.
A1A2 və B1B2 parçaları hiperbolanın uyğun olaraq həqiqi və xəyali oxları adlanır. Hiperbolanın həqiqi oxunun uzunluğu 2a xəyali oxunun uzunluğu isə 2b-yə bərabərdir. a və b ədədləri hiperbolanın uyğun olaraq həqiqi və xəyali yarımoxları adlanırlar.
►Hiperbolanın forması  nisbətindən və ya onun ekssentrisiteti adlanan
 = 
kəmiyyətindən asılıdır.  olduqundan,  alınır. a = b olduqda hiperbolanın tənliyi
x2 – y2 = a2 (4)
şəklində yazılır. Bu halda hiperbolaya bərabərtərəfli hiperbola deyilir. Fokusların yerləşdiyi oxa hiperbolanın fokal oxu deyilir. Tənlikləri x = və x = olan düzxətlər fokal oxa perpendikulyar olur hiperbolanın təpələri ilə koordinat başlanğıcı arasından keçir. Bu xətlərə hiperbolanın direktrisləri deyilir.
Tənlikləri uyğun olaraq
 və 
olan hiperbolar qoşma hiperbolar adlanırlar.
3. Parabola (kanonik tənliyi).
►Tərif. Fokus adlanan verilmiş F nöqtəsindən və direktris adlanan verilmiş d düz xəttindən eyni uzaqlıqda olan nöqtələrin həndəsi yerinə parabola deyilir.
Parabolanın tənliyini çıxarmaq üçün F fokusunun absis oxu üzərində yerləşdiyini və d direktrisinin həmin oxa olduğunu qəbul edək. Fokusla direktris arasındakı məsafə  olsun . Fərz edək ki, koordinat başlanğıcı FD parçasının orta nöq-təsində yerləşir. Onda
və parabolanın ∀ M (x,y) nöqtəsi üçün ;
MF=MN
Buradan
 və yaxud
 (1)
►P kəmiyyəti parabolanın parametri adlanır. Parabola əyrisi absis oxuna nəzərən simmetrikdir. Parabola əyrisinin 1 simmetriya oxu varsır. O nöqtəsi onun təpə nöqtəsi, OX oxu isə onun fakal oxu adlanır.
Bir parabolası ilə ordinat oxuna nəzərən simmetrik olan parabola
y2 = -2px
tənliyi ilə təyin olunar.
(1) tənliyinə parabolanın kanonik tənliyi deyilir.
y 
N M(x, y)
P
D 0 F x
Mövzu 8
| 