Misal. Bir sutka ərzində elektrik enerjisi sərfinin normadan artıq əlmasının ehtimalı 0,75-dir. Yaxın altı sutkada, 4 sutka ərzində elektrik enerjisi sərfinin normadan artıq olmasının ehtimalını tapmalı.
6 sutkanın hər birində elektrik enerjisinin normadan artıq sərfinin ehtimalı
p = 0,75 olması məlumdur. Onda enerjinin normadan az sərfinin ehtimalı
q = 1 – p= 1 – 0,75 = 0,25 olar.
Bernulli düsturuna görə axtarılan ehtimal belə təyin edilir:
(n = 6; k = 4; p = 0,75; q = 0,25)
P6(4) =  p4q2 =  (0,75)4(0,25)2 = 0,3.
4. Laplasın lokal və inteqral teoremləri.
►Laplasın lokal teoremi. Bernulli Düsturundan görünür ki, sınaqların sayı böyük olduqda böyük ədədlər üzərində əməllər aparmaq lazım gəlir. Laplasın lokal teoremi n sınaqda hadisənin düz k dəfə baş verməsinin ehtimslını təqribi hesablamağa imkan verir.
Teorem 1. Əgər hər bir sınaqda A hadisəsinin baş vermə p ehtimalı sıfır və vahiddən fərqli sabit olarsa, onda n sınaqda A hadisəsinin düz k dəfə baş verməsinin Pn(k) ehtimalı aşağıdakı funksiyanın təqribi qiymətinə bərabərdir:
Pn(k)
Burada x =  .
n nə qədər böyük olarsa dəqiqlik də bir o qədər də böyük olar.
x arqumentinin müsbət qiymətləri üçün  Laplas funksiyasının uyğun qiymətlərinin cədvəlləri vardır.  funksiyası cüt, yəni  olduğundan, x arqumentinin mənfi qiymətləri üçün də həmin cədvəllərdən istifadə edilir.
Misal 1. Hər sınaqda A hadisəsinin baş verməsi ehtimalı 0,6-ya bərabərdirsə, 2400 sınaqda A hadisəsinin 1400 dəfə baş verməsinin ehtimalını tapın.
Sınaqların sayı böyük olduğundan, burada Laplasın lokal teoremindən istifadə edək
Pn(k) =  .
Əvvəlcə x-ın qiymətini tapaq:
funksiyası cüt olduğuna görə φ(-1,67) = φ(1,67). Cədvələ əsasən
φ(1,67) = 0,0989. Axtarılan ehtimal
P2400(1400) = 
►Laplasın inteqral teoremi. n sinağın hər birində A hadisənin baş verməsi ehtimalı sabit olarsa, hadisənin ən azı k1, ən çoxu k2 dəfə baş verməsinin
Pn(k1, k2) ehtimalını tapmaq üçün Laplasın inteqral teoremindən istifadə olunur.
Teorem 2. n dəfə aparılmış sınağın hər birində A hadisəsinin baş vermə ehtimalı p sıfır və vahiddən fərqli sabitdirsə ( ), onda A hadisəsinin k1 dəfədən k2 dəfədəyək baş verməsinin ehtimalı təqribən aşağıdakı müəyyən inteqrala bərabərdir:
Pn(k1, k2) 
burada  və  .
Laplasın φ(x) =  inteqralı üçün qiymətlər cədvəli vardır. Cədvələ arqumentin  aralığındakı qiymətləri üçün φ(x) funksiyasının uyğun qiymətləri verilmişdir.  olduqda da həmin cədvəldən istifadə olunur, belə ki, φ(x) funksiyası tək funksiyadır, yəni  olduqda isə φ(x) = 0,5 götürmək olar.
Misal. Detalın texniki nəzarət şöbəsinin yoxlanışından keçməsinin ehtimalı 0,2-dir. 400 ədəd təsadüfi seçilmiş detalın içində 70-dən 100-ə kimi yoxlanışdan keçməyən detal olmasının ehtimalını tapmalı.
Şərtə görə p = 0,2; q = 1 0,2 = 0,8; n = 400; k1 = 70; k2 = 100. Laplasın inteqral teoremindən istifadə edək. Əvvəlcə inteqralın aşağı və yuxarı sərhədlərini hesablayaq:
 .
Laplas inteqralının tək olmasını nəzərə alaraq arqumentin hesablanmış qiymətlərini ehtimal düsturunda yerinə yazsaq alarıq
P400(70; 100)  φ(xꞌꞌ) φ(xꞌ) = φ(2,5) φ(1,25) =
φ(2,5) φ(1,25) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
Mövzu 42
Diskret və kəsilməz təsadüfi kəmiyyətlərin əsas ədədi
xarakteristikaları.
1. Təsadüfi kəmiyyət.
2. Diskret təsadüfi kəmiyyətləri əsas ədədi
xarakteristikaları.
3. Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətlərin ehtimallarının
paylanması və ədədi xarakteristikaları.
1. Təsadüfi kəmiyyət.
Təcrübədə istifadə olunan kəmiyyətlərin çoxu müxtəlif şəraitdə müxtəlif qiymətlər alır. Başqa sözlə, bu kəmiyyətlərin qiymətləri bir sıra səbəblərdən asılı olaraq dəyişir. Elmdə qiymətləri dəyişən kəmiyyətlər üçün təsadüfi kəmiyyət anlayışı tətbiq olunur. Təsadüfi kəmiyyət ehtimal nəzəriyyəsinin mühüm anlayışıdır. Təsadüfi kəmiyyətlərdən, onların ehtimallarının paylanma qanunlarından istifadə etməklə elm və texnikanın müxtəlif məsələlərini həll etmək mümkün olur.
Tərif. Əvvəlcədən nəzərə alınması mümkün olmayan təsadüfi səbəblərdən asılı olan və sınaq zamanı yalnız bir mümkün qiymət alan kəmiyyətlərə təsadüfi kəmiyyətlər deyilir.
Məsələn, zəri atdıqda 1, 2, 3, 4, 5 və 6 rəqəmlərindən yalnıq biri düşür. Bu rəqəmlərdən hansının düşməsini əvvəlcədən müəyyənləşdirmək mümkün deyildir. Odur ki, zəri atdıqda hansı rəqəmin dəqiq düşməsi təsadüfi kəmiyyətdir. 1, 2, 3, 4, 5 və 6 rəqəmləri isə bu təsadüfi kəmiyyətin qiymətləridir.
Təsadüfi kəmiyyətlər iki növ olur: diskret(kəsilən) və kəsilməz.
Müəyyən ehtimallı izolə edilmiş, ayrı-ayrı qiymətlər ala bilən təsadüfi kəmiyyətə diskret təsadüfi kəmiyyət deyilir. Diskret təsadüfi kəmiyyətin mümkün qiymətlərinin sayı sonlu və ya sonsuz ola bilər.
Diskret(kəsilən) təsadüfi kəmiyyətlər X, Y, Z onların mümkün qiymətləri isə
x, y, z hərfləri ilə işarə edilir.
Hər hansı sonlu, ya sonsuz aralıqdan bütün qiymətləri ala bilən təsadüfi kəmiyyətə kəsilməz təsadüfi kəmiyyət deyilir.
Diskret təsadüfi kəmiyyətin mümkün qiymətləri ilə onların ehtimalları arasındakı uyğunluğa diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanunu deyilir. Paylanma qanunu cədvəl, analitik (düstur şəklində) və qrafiki şəkillərdə vermək olar.
Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanunu cədvəl şəklində verildikdə birinci sətirdə onun mümkün qiymətləri, ikinci sətirdə isə mümkün qiymətlərin uyğun ehtimallarını göstərmək lazımdır. Cədvəl şəkilində paylanma qanunu aşağıdakı kimi verilir.
X
|
x1
|
x2
|
x3
|
. . .
|
xn
|
P
|
p1
|
p2
|
p3
|
. . .
|
pn
|
2. Diskret təsadüfi kəmiyyətləri əsas ədədi
xarakteristikaları.
Öyrənilən diskret təsadüfi kəmiyyəti tam xarakterizə etmək üçün onun ədədi xarakteristikalarını, yəni riyazi gözləməsini, dispersiyasını və orta kvadratik meylini və s. bilmək lazım gəlir.
►Riyazi gözləmə. Diskret təsadüfi kəmiyyətin ən mühüm xarakteristikalarından biri onun gözləməsidir. Riyazi gözləmə təsadüfi kəmiyyətin mümkün qiymətlərinin ədədi ortasından fərqlidir. O, kəmiyyətin mümkün qiymətləri içərisində ən çox ehtimal olunan qiymətinə yaxın alınır və ona görə də o kəmiyyəti ədədi ortadan daha dəqiqi xarakterizə edir.
Tərif 1. X diskret təsadüfi kəmiyyətin x1, x2, ..., xn mümkün qiymətlərinin olnarın uyğun p1, p2, ..., pn ehtimallarına hasillərinin cəminə təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləməsi deyilir və M(X) ilə işarə olunur.
M(X) =  .
Riyazi gözləmənin aşağıdakı əsas xassələri vardır.
1. Sabit kəmiyyətin riyazi gözləməsi sabitin özünə bərabərdir
M(C) = C.
2. Sabit vuruğu riyazi gözləmə işarəsi qarşısına çıxarmaq olar
M(CX) = C M(X)
3. İki asılı olmayan kəmiyyətin hasilinin riyazi gözləməsi onların riyazi gözləmələrinin cəminə bərabərdir
M(XY) = M(X) · M(Y).
4. İki təsadüfi kəmiyyətin cəminin riyazi gözləməsi bu kəmiyyətlərin riyazi gözləmələrinin cəminə bərabərdir
M(X + Y) = M(X) + M(Y).
►Dispersiya. Təcrübədə çox vaxt təsadüfi kəmiyyətin mümkün qiymətlərinin riyazi gözləmə ətrafında səpələnməsini bilmək lazım gəlir.
Tutaq ki, X - təsadüfi kəmiyyət, M(X) isə onun riyazi gözləməsidir. təsadüfi kəmiyyətlə onun riyazi gözləməsinin fərqi X – M(X) meyl adlanır.
Teorem 1. İstənilən təsadüfi kəmiyyət üçün meylin riyazi gözləməsi sıfra bərabərdir, yəni
M .
İsbatı. Doğrudan da, M(X) – in sabit kəmiyyət olduğunu nəzərə alsaq:
M
|
