Misal 2.  tənliyinin  başlanğıc şərtlərini ğdəyən həllini tapmalı.
 və  olduğundan (6) bərabərliyi
kimi yazılır. Bu ifadəni sadə kəsrlərə ayıraq:
Buradan və  bərabərliklərinə əsasən
alınır.
3. Diferensial tənliklər sistemlərinin həlli.
Adi diferensial tənlikləi həll etmək üçün yuxarıda tətbiq olunan operasiya üsulu adi diferensial tənliklər sisteminin həll etmək üçün də yarayır. Bu zaman yuxarıda aparılan mühakimə, demək olar ki, təkrar olunur. Bunu bir misal üzərində izah edək.
 (1)
Tənliklər sisteminin x(0) = 0, y(0) = 0 başlanğıc şərtlərini ödəyən x = x(t) və
y = y(t) həllini tapmalı. X(p) = 𝛬 və Y(p) = 𝛬 qəbul edərək, (1) tənliklərinin hər birinin hər iki tərəfinin Laplas çevirməsinin hesablasaq , X(p) və Y(p)surətinə nəzərən
cəbri tənliklər sistemi alınar. Buradan həmin rətlər tapılır:
 .
Bu ifadələri
 və 
kimi yazdıqda
olduğu aydın olur.
►Laplas çevirməsi cədvəli.
Budara praktiki məsələlərin həllində çox işlədilən bir sıra elementar funksiyaların Laplas çevirmələri cədvəli verilir.
Mövzu 40
Təsadüfi hadisələr. Ehtimalın klassik tərifi. Ehtimalların
toplanması və vurulması qaydaları.
1. Təsadufi hadisələr.
2. Ehtimalın klassik tərifi.
3. Ehtimalnan bağlı məsələlərdə kombinatorikanın
elementlərindən istifdə.
4. Ehtimalların toplanması və vurulması qaydaları.
1. Təsadufi hadisələr.
Bizi əhatə edən gerçəkliyin dərk edilməsi sınaqlar və müşaidələr nəticəsində baş verir. Ehtimal nəzəriyyəsinin əsas anlayışlarından biri sınaq anlayışıdır. Sınaq dedikdə nəticəsi əvvəlcədən məlum olmayan təcrübə və ya müşahidə başa düşülür.
Misal 1. Tutaq ki, metal pulu bir təfə atırıq. Bu zaman gərb və ya pul üzü düşə bilər. Hansı üzün yuxarı düşəcəyini, yəni bu sınağın nəticəsini əvvəlcədən demək olmaz.
Tərif 1. Təcrübənin hər bir nəticəsi elementar hadisə adlanır.
Tərif 2. Nəticəsi əvvəlcədən proqnozlaşdırıla bilinməyən hadisəyə təsadüfi hadisə deyilir.
Misal 2. Qabda müxtəlif rəngli kürəciklər vardır. Qabdan kürəciyin çıxarılması sınaqdır. Çıxarılmış kürəciyin hər hansı rəngdə olması isə hadisədiir.
Tərif 3. Təcrübə nəticəsində hükmən baş verən hadisəyə yəqin hadisə deyilir.
Misal 3. Bir cüt zəri bir dəfə atdıqda düşən xallar cəminin 12-dən çox olmaması yəqin hadisədir.
Tərif 4. Təcrübə nəticəsində baş verməyəcəyi əvvəlcədən məlum olan hadisəyə bu təcrübədən mümkün olmayan hadisə deyilir.
Misal 4. İçərisində yalnız qara rəngli kürəciklər olan qutudan ağ rəngli kürəciyin çıxarılması hadisəsi mümkün olmayan hadisədir.
Ehtimal nəzəriyyəsi məhz təsadüfi hadisələrin qanuna uyğunluqlarını öyrənən elmdir.
Tərif 5. Əgər A1, A2, ..., An hadisələrindən hər hansı ikisinin eyni zamanda baş verməsi mümkün deyilsə, belə hadisələrə uyuşmayan hadisələr deyilir.
Xüsusi halda, bir sınaq zamanı iki hadisədən biri baş verməsi o birinin baş verməsini inkar etmirsə belə hadisələrə uyuşan hadisələr deyilir, əgər inkar edirsə, onda belə hadisələrə uyuşmayan hadisələr deyilir.
Misal 5. Metal pulu bir dəfə atırıq. Gərb üzünün hadisəsi pul üzünün düşməsi hadisəsini inkar edir və deməli, bu hadisələr uyuşmayandır.
Misal 6. Zəri atdıqda “3” üzünün düşməsi və 6 ədədinin bölənlərinin düşməsi hadisələri uyuşandır, çünkü 3 həm də 6-nın bölənidir.
Tərif 6. Əgər A1, A2, ..., An hadisələr çoxluğu cüt-cüt uyuşmayandırsa və onlardan birinin və yalnız birinin baş verməsi yəqin hadisədirsə bu çoxluq tam qrup adlanır.
Misal 7. Bir zəri bir dəfə atdıqda 1-dən 6-ya qədər olan xallardan biri düşməsi yəqin hadisədir. Odur ki, bu hadisələr tam qrup təşkil edir.
Xüsusi halda, əgər sınaq nəticəsində iki hadisədən yalnız biri hökmən baş verərsə, onda bu hadisələrə qarşılıqlı əks hadisələr deyilir. A hadisəsinin əksi  ilə işarə olunur.
2. Ehtimalın klassik tərifi.
Tutaq ki, A hadisəsi nir dınağın nəticəsidir və A1, A2, ..., An eyniimkanlı elementar hadisələrin tam qrupudur.
Tərif. A hadisəsi üçün əlverişli olan hallar sayının bütün eyniimkanlı hallar nisbətinə həmin hadisənin ehtimalı deyilir.
Beləliklə, n sayda eyniimkanlı hallar olan təcrübədə A hadisəsi üçün m sayda əlverişli hal varsa, bu hadisənin ehtimalı
P(A) =  .
düsturu ilə hesablamır.
1. Mümkün olmayan hadisənin ehtimalı sıfra bərabərdir. Doğrudan da bu halda sınaqlardan heç biri hadisəyə uyğun gəlmir, yəni m = 0 olur. Onda
P(A) =  .
2. Yəqin hadisənin ehtimalı vahidə bərabərdir. Belə ki, yəqin hadisələrdə sınaqların hamısı hadisəyə uyğun gəlir, yəni m = n olur. Onda
P(A) =  .
Hər hansı A hadisəsi üçün əlverişli halların sayı mümkün halların sayından şox olmadığından, yəni  olduğundan, ehtimalın klaaik tərifindən və yuxarıdakı mehakimələrdən alınır ki,
 .
3. Ehtimalnan bağlı məsələlərdə
kombinatorikanın elementlərindən istifdə.
Hadisələrin ehtimalını hesablamaq üçün çoxlu sayda sınaqlar aparmaq lazım gəlir. Sonlu sınaqların sayını hesablamaq üçün sonlu çoxluqların kombinatorika elementlərindən istifadə edilir.
Fərz edək ki, n sayda detaldan m sayda detal standarta uyğundur. İxtiyari götürülmüş k sayda detalın içərisində heç olmasa birinin standart detal olması ehtimalı tapmaq tələb olunur. n detalın içərisindən k sayda detalı  sayda üsulla çıxarmaq olar. Deməli, mümkün halların sayı olur. Standart detalların sayı m, qeyri-standart detalların sayı isə n – m olduğu üçün hadisəyə uyğun gələn sinaqların sayını tapmaq üçün m standart detal içərisindən bir ədəd detal götürmə üsulu ilə ( ), n – m sayda qeyri-standart detalın eçərisindən k – 1 sayda detalın götürmə üsulunu ( ) bir-birinə vurmaq lazımdır. Onda
P(A) =
olar.
Kombinatorikanın aşağıdakı düsturlarından ehtimalın hesablanmasında istifadə olunur:
  ;
 (k faktorial) ;
Burada  elementdən k sayda kombinezon,
 elementdən k sayda aranjeman,
 elementli permutasiya işarələridir.
4. Ehtimalların toplanması və vurulması qaydaları.
►A və B hadisələrindən heç olmasa birinin baş vermədi hadisəsinə bu hadisələrin cəmi deyilir və A + B kimi işarə edilir.
|
