|
Ekstremumning zaruriy va yetarli shartlari
|
| bet | 2/8 | | Sana | 27.11.2023 | | Hajmi | 304,88 Kb. | | #106557 |
Bog'liq 1-Mustaqil ish hisob2. Ekstremumning zaruriy va yetarli shartlari
у = f(x) funksiya x0 nuqtaning biror δ atrofida aniqlangan bo’lib, x0 nuqtada uzluksiz bo’lsin.
Agar barcha x€(x0-5; x0) U (x0;x0+δ) nuqtalar uchun f(x)0) (f(x)>f(x0)) tengsizlik o’rinli bo’lsa, x0 f(x) funksiyaning qat’iy maksimum (minimum) nuqtasi deyiladi. (2 a - rasm).
Agarda har bir x€(x0-5;x0) U (x0;x0+δ) uchun f(x) < f(x0) (f(x)>fl;x0)) tengsizlik bajarilsa, u holda x0 f(x) funksiyaning noqat’iy maksimum (minimum) nuqtasi deyiladi (2 b - rasm).
Funksiyaning qat’iy va noqat’iy maksimum va minimum nuqtalariga, uning lokal (mahalliy) xarakterdagi ekstremum nuqtalari deyiladi.
Agar x0 f(х) funksiyaning maksimum nuqtasi bo’lsa, u holda x0 nuqtaning qaralayotgan 6 atrofida Δf(x0) = f(x) - f(x0) < 0 (Δf(x0) < 0) munosabatlar o’rinli bo’ladi. Agarda x0 f(x) funksiyaning minimum nuqtasi bo’lsa, unda Δf(x0) > 0 (Δf(x0) > 0) tengsizliklar bajariladi.
2 - Teorema. (Funksiya ekstrcmumining zaruriy sharti)
Agar x0 nuqta f{x) funksiyaning ekstremum nuqtasi bo’lib, funksiya uning biror atrofida aniqlangan bo’lsa, u holda f ‘(x0) = 0 yoki f ‘(x0) - mavjud emas.
Teoremani geometrik izohlash mumkin. Teorema shartlari bajarilganda, у = f(x) funksiya grafigining x0 abssisali nuqtasiga o’tkazilgan urinma yoki mavjud va OX o’qiga parallel (2 a - rasm), yoki mavjud emas (2 b - rasm).
a) f ‘(x0) = 0 b) f ‘(x0) - mavjud emas.
2 - rasm.
Funksiya ekstremumining zaruriy shartlarini qanoatlantiruvchi, ya’ni funksiya hosilasi f(x) ni nolga aylantiruvchi yoki f ‘(x) mavjud bo’l-magan, funksiya aniqlanish sohasining ichki nuqtalariga uning kritik nuqtalari deyiladi. Ulardan f ‘(x)=0 tenglamani qanoatlantiruvchi kritik nuqtalarga statsionar nuqtalar deyiladi.
Misol. у = (х-4)· funksiyaning kritik nuqtalarini toping.
Funksiya sonlar o’qida aniqlangan va y’(x) = 4/3·x-1/ . x = 1 da y’(l) = 0 bo’lib, x = 0 da y’(0) - mavjud emas.
Demak, x = 1 nuqta funksiyaning statsionar nuqtasi, {0;l} nuqtalar to’plami esa uning kritik nuqtalari to’plamidir.
Funksiya ekstremumi zaruriy shartini qanoatlantiruvchi har bir kritik nuqta uning ekstremum nuqtasi bo’lavermaydi. Masalan, у = x3 funksiya R da monoton o’suvchi, chunki (x3)’ ≥0, x€R. x = 0 nuqta esa uning kritik (statsionar) nuqtasi chunki y’(0) = 0. Funksiya sonlar o’qida monoton o’suvchi bo’lgani uchun, x = 0 kritik nuqtasi uning ekstremumi bo’ la olmaydi.
Funksiyaning ekstremum nuqtalari uning kritik nuqtalari ichidan quyidagi yetarli shartlardan biri asosida tanlanadi.
|
| |
