83
1- masala Sizga 100
m sim-to’r devor bilan to’g’ri to’rtburchakli maydonni
o’rab olgin maydon seniki bo’ladi degan imkoniyat berildi.Nima qilgan bo’lar
edingizq
Bu erda,tabiiy,qanday qilsam egalik qiladigan maydonim ko’proq bo’lar
ekan degan fikr o’ylashga majbur qiladi.To’g’ri to’rtburchak tomonlarini
desak,perimetri 100
m bo’lgani
uchun
shart kelib chiqadi. O’rab
olingan yuza esa
ga teng bo’ladi. Natijada
bo’lgan
lar
orasidan
ga eng katta qiymat beradiganini topish masalasi paydo bo’ladi.
Masala
shartidan
ni
aniqlab
ga
qo’yilsa,
bu erda
sir eng katta qiymat ma’nosida ishlatiladi.
maqsad funktsiyasiga namuna deb qaralishimumkin. Bu erda
ekstremumni
topish
uchun
an’naviy usullardan foydalanish mumkin.
shartdan nuqtada
topiladi.
bo’lgani va
yagona bo’lgani uchun
ning yagona ekstremumi bo’lib shu
nuqtada
funktsiya o’zining global ekstremumi, ya’ni
ga erishadi. Demak
muntazam to’rtburchak, ya’ni kvadrat optimal
variant bo’lar ekan. O’rni kelganda shuni aytish mumkinki, maydonni muntazam
beshburchaksifatida o’rasak, devor uzunligi 100
m saqlanadi, yuza ko’proq,
oltiburchak shaklida olsak yanada ko’proq bo’lar ekan. Ko’pburchak tomonlar
sonini orttirgan sari (perimetri
saqlangan xolda) yuza ortib borar ekan.
Bunda ko’pburchak borgan sari doiraviy ko’rinishni olib boradi.
Xulosa qilib
aytganda, perimetri bir xil bo’lgan yassi shakllar orasida yuzasi eng kattasi doira
bo’lar ekan. Bizning misolga tadbiq qilsak
bo’lsa
chiqadi.
Kvadratga qaraganda
, ya’ni anchagina ko’proq bo’lar ekan. Atrof tabiatga
e’tibor bersak, doiraviy shakl ko’p uchrashiga guvoh bo’lamiz. Tabiat ham moxir
muxandis sifatida optimal shakllardan foydalanishga xarakat qilganini ko’ramiz.
84
Yana bir misol ko’ramiz. Faraz qilaylik siz tadbirkorsiz va kichik
korxonangiz bor. Sizning korxonangiz metal konserva bankalari ishlab chiqarishga
ixtisoslashgan. Korxonangizga xajmi
bo’lgan juda katta partiya
konserva bankalari tayyorlashga buyurtma tushdi. Yana savol: nima qilgan bo’lar
edingizq
Bu erda ham, manfaatdorlik nuqtai nazaridan, bankalar tayyorlashga
ketadigan metall sarfini kamaytirish yo’lini qidirish kerak bo’ladi. Metall sarfi esa
tsilindr to’la sirti, ya’ni qoplama material bilan ifodalanadi. Masalani bitta
konserva bankasi miqyosida ishlaymiz. Keyinchalik umumiy partiya soni
ga
ko’paytirib to’liq tejamkorlikni aniqlashmumkin bo’ladi.
Masalaning matematik
modelini ifodalaymiz. Yuqoridagi muloxazalarga ko’ra ortiqcha izoxga xojat yo’q.
Xosil bo’lgan optimizatsiya masalasini ishlash uchun 2-tenglikdan
ni
aniqlab 1-tenglikka qo’yilsa maqsad funktsiyasi
deb
topiladi.
Bunda
qiymatlar chiqadi. Bundan umumiy turdagi,
tsilindr o’q kesimi kvadrat bo’lsa eng kam metal sarflanar ekan degan xulosaga
kelamiz. Keltirilgan misollar sodda bo’lganligi uchun ularga an’anaviy usullarni
tadbiq qilib aniq echimini topish mumkin bo’ladi. Umumiy xolda doim ham
bunday natijaga erishib bo’lmas ekan.
Shuning uchun bu o’rinda umumiy usullar haqida fikr yuritamiz. Masalaning
amaliy tarafidan chetlashgan xolda faqat matematik muammo sifatida tahlil
qilamiz va echish yo’llarini keltiramiz.
Masala quyidagicha ifodalanadi.
(14.1)
85
bu erda eng kichik qiymatni topish bilan cheklanamiz.
Chunki
masalani
ko’rinishda ifodalash mumkin. Ya’ni uni ham eng kichik qiymat topish
masalasigi almashtirilyapti.
(14.1) masalada
funktsiyaning
oralig’idagi eng kichik
qiymatini topish talab qilinyapti. Bu oraliqda bir qancha lokal minimumlar bo’lishi
mumkin. U xolda ular va chegara qiymatlar
lar orasidan eng
kichigini tanlab olish kerak bo’ladi.
Bunday xollarda eng avval
oraliqni uni
modal, ya’ni faqat bitta ekstremumni o’z ichiga olgan oraliqlarga ajratiladi. Xar bir
oraliqda o’z lokal ekstremumini topiladi. So’ngra ularni taqqoslash asosida eng
kichik qiymat topiladi.
Buning uchun unimodallik shartlarini kiritamiz. Agar biror
oraliqda
funktsiyaning o’zi, 1-,2-tartibli xosilalari xam uzluksiz bo’lib
va
ishorasi
da o’zgarmasa
funktsiya
oraliqda unimodel bo’ladi va yagona ekstremumga ega. Bu fikrlarni grafik usulda
izohlab to’g’riligiga ishonch xosil qilamiz.14-rasmda
y
y
O c d x O c d
a) b)
