79
9.3. Boshlang’ich ma`lumotlar asosida hisoblanadigan regressiya
tenglamasi va korrelyatsiya koeffitsienti.
To`g’ri chiziqli regressiya tenglamasi korrelyatsion bog’lanishning eng
umumiy tavsifi hisoblanadi. Bu holda natijaviy va omil belgilari orasidagi
bog’lanish to`g’ri chiziqli funktsiya deb qaraladi, ya`ni y=a+bx.
Ammo haqiqatda funktsional bog’lanish mavjud bo`lmagani
uchun bu
tenglama echimga ega emas, chunki, u ikkita noma`lum parametr (a
0
, a
1
) larga
ega. SHuning uchun chiziqli regressiya tenglamasini hisoblash uchun dastlab bu
tenglamani normal tenglamalar tizimiga keltirish zaruriyati tug’iladi. Bu masala
odatda kichik kvadratlar usuli orqali echiladi. Uning mohiyati shundan iboratki,
natijaviy belgining haqiqiy qiymatlari (
y
i
) bilan uning regressiya tenglamasi
yordamida olinadigan (faqat omil belgi ta`siri ostida shakllanuvchi)
tegishli
qiymatlari (
xi
yˆ
) orasidagi farqlar kvadratlarining yig’indisi minimum bo`lishi
zarur.
Ya`ni
min
)
ˆ
(
2
xi
i
y
y
yoki
min
)
(
2
1
0
i
i
x
a
a
y
. Demak, normal
tenglamalar tizimini tuzish masalasi to`g’ri chiziqli funktsiya a
0
va a
1
parametrlarning ekstremumni (bu holda minimumni) aniqlashga borib taqaladi.
Differensial hisoblashdan ma`lumki, ikkita o`zgaruvchi
miqdorlar
funktsiyasi R(a
0
, a
1
) ekstreniumga erishishi nolga teng bo`lishi shart, ya`ni
0
)
(
0
0
a
a
f
va
0
)
(
1
1
a
a
f
. Bu xususiy hosilalarni hisoblab, quyidagi ifodalarga ega
bo`lamiz:
:
0
a
f
0
)
(
2
)
(
1
0
2
1
0
x
a
a
y
x
a
a
y
:
1
a
f
0
)
(
2
)
(
2
)
(
2
1
0
1
0
2
1
0
x
a
x
a
yx
x
a
a
y
x
a
a
y
Bu tenglamalarni -2 ga qisqartirib, har bir umumiy yig’indilarni esa uchta
tarkibiy yig’indilarga ajratsak, quyidagi normal tenglamalar tizimi hosil bo`ladi.
0
1
0
x
a
Na
y
yoki
y
x
a
Na
1
0
0
2
1
0
x
a
x
a
xy
yoki
xy
x
a
x
a
2
1
0
(9.1)
Bundan,
2
2
2
0
)
(
x
x
N
xy
x
x
y
a
(9.2)
2
2
1
)
(
x
x
N
x
y
yx
N
a
(9.3)
Pirovard natijada to`g’ri chiziqli regressiya
modelning quyidagi ifoda
shaklini oladi.
x
a
a
y
x
1
0
ˆ
Bu erda a
1
parametr regressiya koeffitsienti deb ataladi va u omil belgi X
samaradorligini aniqlaydi, ya`ni bu belgi qiymati bir birlikka ortsa,
natijaviy
belgi o`rtacha qiymati qancha miqdorga ko`payishini belgilaydi. Regressiya
modelining «a
0
» parametrini umumiy holda omil belgi nolga teng bo`lganda,
ya`ni, x=0, natijaviy belgining nazariy jihatdan kutiladigan o`rtacha miqdorini
80
ifodalaydi. Ko`pincha uni iqtisodiy talqin etish qiyin bo`lgani sababli, bu
parametr regressiya tenglamasining ozod hadi deb yuritiladi.
Misol. Tumandagi 7ta xo`jaliklarning hisobot ma`lumotlari asosida paxta
hosildorligi (y) bilan 1 ga ekin maydonga solingan mineral o`g’itlar miqdori (x)
o`rtasidagi korrelyatsion bog’lanish uchun regressiyaning
chiziqli tenglamasini
aniqlash kerak. Haqiqiy ma`lumotlarga asoslanib normal chiziqli tenglamalar
tizimining koeffitsientlarini jadval yordamida hisoblash qulaydir (8-jadval).
8-jadval.
