294
(5.26)
……………………
Olingan natijalardan ko‘rinib turibdiki, potentsial kuchlar ta’siridagi
mexanik
sistemaning holati, faqat bitta Lagranj funksiyasi orqali berilar ekan, shu sababli
ushbu funksiya ma’lum bo‘lsa sistemaning differentsial
tenglamasini tuzish
mumkin ekan.
Ushbu
tushunchalarni
tegishlicha
umumlashtirsak,
Lagranjning
funktsiyasiga o‘xshash bo‘lgan funktsiyalar turli fizik sistemalarning holatlarini
ifodalab beradi(uzluksiz muhitni, gravitatsion yoki elektr maydonini va h.k.). Shu
sababli, (5.26) ko‘rinishdagi Lagranj tenglamalari fizikaning qator sohalarida
muhim ahamiyat kasb etadi.
1-masala.
Massasi
m
1
gardishi bo‘ylab tarqalgan,
R
radiusli baraban 1 -ga,
tros o‘ralib,
trosning uchiga qattiqligi
C
bo‘lgan prujina orqali,
m
2
massali yuk
osilgan (5.9-shakl). Barabanga momenti
M
bur
bo‘lgan juft qo‘yilgan. Shu sistema
uchun Lagranj tenglamasi tuzilsin va yukning harakatidagi
tebranishlarning
chastotasi aniqlansin.
295
5.9-shakl.
Yechish.
Sistema ikkita erkinlik darajasiga ega. Umumlashgan koordinatalar
sifatida, barabanning burilish burchagi
va prujinaning uzayishi
x
ni tanlab olamiz
(
q
1
=
, q
2
=x
). U holda Lagranj tenglamalari
(
1
)
(2)
Sistemaga ta’sir etuvchi kuchlarni shaklda tasvirlaymiz: prujinaning
elastiklik kuchlari;
son qiymtlari
F=
=cx
). Umumlashgan kuchlarni
Q
1
va
Q
2
larni aniqlaymiz.
Sistemaga
>0
mumkin bo‘lgan ko‘chish beramiz va
x=const
deb
hisoblaymiz, bunday ko‘chishda va kuchlarning
bajargan ishlari nolga teng
bo‘ladi, shu sababli bunday ko‘chishdagi elementar bajarilgan ish
A
1
=(M
bur
-m
2
gR)
.
Erkin o‘zgaruvchi ikkinchi umumlashgan koordinata (
x>0,
=const)ning
o‘zgarishidagi
A
2
=(m
2
g-cx)
x
bo‘ladi. Shu sababli,
Q
1
=M
bur
-m
2
gR,
Q
2
= m
2
g-cx.
Sistemaning kinetik energiyasi,
T=T
1
+T
2
, bu yerdagi
Ushbu masalada
296
I
1
=m
1
R
2
,
V
2
=V
nis
+V
ko‘ch
va
V
2
=
x
-R
.
U holda,
T= m
1
R
2
2
/2+m
2
(
x
-R )
2
/2.
xususiy hosilalar olib,
m
1
R
2
-m
2
R(
x
-R
);
m
2
(
x
-R
),
0
x
T
T
hosil boʻlgan ifodalarni (1) va (2) ga qo‘ysak:
(m
1
+m
2
)R
m
2
x
=
(3)
-m
2
R +m
2
x
=m
2
g-cx.
(4)
Izlanayotgan tenglamalar shulardan iborat. Oxirgi ikkita tenglamani hadma-
had qo‘shsak,
m
1
R =M
bur
/R-cx,
ushbu tenglikdan va (d,e) tenglamadan R ni chiqarib tashlasak,
yukning nisbiy
tebranma harakatining differentsial tenglamasini olamiz, uning tebranish chastotasi
k ga teng bo‘ladi
g
R
m
M
x
k
x
bur
1
2
,
k=
c
m
m
m m
1
2
1
2
.
Yukning absolyut harakati
s= x - R
qonuniyat bo‘yicha sodir bo‘ladi.
Ushbu harakat ham,
k
-chastotali tebranish bilan sodir bo‘ladi. Barabanning
aylanma harakati ham shunday tebranishlar bilan sodir bo‘ladi.
